Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea
com e . Quantas soluções são achadas com este método?. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea:
com as condições iniciais e . A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se de que a Transformada de Laplace de uma derivada e , onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace à equação:
Precisamos lembrar que e envolvem propriedades da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por . Sabemos que , onde é a Transformada de .

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Para :
    Calculando a derivada:
  2. Para :
    Calculando a derivada:
  3. Para :

Passo 5

Agora, juntando todos os termos:
Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, fatoramos :
Isolando :
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar . Como , a transformada inversa de Laplace nos dá:
Aplicando :
Portanto, a solução é:

Resposta

A equação diferencial possui uma única solução quando resolvida pela Transformada de Laplace.

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Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com e nos seguintes casos: (b) (criticamente amortecido).
Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com e nos seguintes casos: © Interprete físicamente as soluções achadas em (a) e (b) quando .