Use a transformação de Laplace
para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea
com
e
. Quantas soluções são achadas com este método?. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea:
com as condições iniciais
e
. A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se de que a Transformada de Laplace de uma derivada
e
, onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace à equação:
Precisamos lembrar que
e
envolvem propriedades da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por
. Sabemos que
, onde
é a Transformada de
.
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente:
-
Para
: Calculando a derivada: -
Para
: Calculando a derivada: -
Para
:
Passo 5
Agora, juntando todos os termos:
Simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, fatoramos
:
Isolando
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
. Como
, a transformada inversa de Laplace nos dá:
Aplicando
:
Portanto, a solução é:
Resposta
A equação diferencial possui uma única solução
quando resolvida pela Transformada de Laplace.