Use a transformação de Laplace L para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea
t ddoty+(1-t) doty+2 y=0
com y(0)=1 e y^prime(0)=-2. Quantas soluções são achadas com este método?. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea:
t ddoty + (1 - t) doty + 2 y = 0
com as condições iniciais e . A matéria envolvida aqui é a resolução de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se de que a Transformada de Laplace de uma derivada e , onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace à equação:
Lt ddoty + L(1 - t) doty + L2 y = 0
Precisamos lembrar que e envolvem propriedades da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por . Sabemos que , onde é a Transformada de .

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Para Lt ddoty = -ddsLddoty = -dds[s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)] :
    -[2s Y(s) + s^2 Y'(s) - y(0)]
    Calculando a derivada:
    L(1 - t) doty = Ldoty - Lt doty = [s Y(s) - y(0)] - (-ddsLdoty)
  2. Para [s Y(s) - y(0)] + [Y(s) + s Y'(s) - 0] :
    L2 y = 2 Y(s)
    Calculando a derivada:
  3. Para :

Passo 5

Agora, juntando todos os termos:
- [2s Y(s) + s^2 Y'(s) - y(0)] + [s Y(s) - y(0) + Y(s) + s Y'(s)] + 2 Y(s) = 0
Simplificando os termos:
-2s Y(s) - s^2 Y'(s) + y(0) + s Y(s) - y(0) + Y(s) + s Y'(s) + 2 Y(s) = 0
Agrupando termos semelhantes:
(-2s + s + 1 + 2) Y(s) + (-s^2 + s) Y'(s) + (y(0) - y(0)) = 0
Simplificando mais:
(-s) Y(s) + (-s^2 + s) Y'(s) = 0

Passo 6

Agora, fatoramos (-s + (-s^2 + s) Y'(s)Y(s)) = 0 :
-s + (-s^2 + s) Y'(s)Y(s) = 0 (-s^2 + s) Y'(s)Y(s) = s Y'(s)Y(s) = s-s^2 + s = ss(-s + 1) = -1s - 1
Isolando ln Y(s) = -ln|s - 1| + C Y(s) = Ks - 1 :
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar y(t) = K e^t . Como 1 = K e^0 K = 1 , a transformada inversa de Laplace nos dá:
y(t) = e^t
Aplicando :
Portanto, a solução é:

Resposta

A equação diferencial possui uma única solução quando resolvida pela Transformada de Laplace.

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