Seja B uma base de . Verifique se o vetor é uma combinação linear dos vetores e
Passo 1
Então, galera, a gente tem um exercício aqui onde precisamos verificar se um certo vetor, chamado de , pode ser escrito como uma combinação linear de dois outros vetores, e , dentro de uma base de um espaço vetorial de três dimensões, . Isso envolve entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que é uma combinação linear de e se conseguir encontrar escalares (números) e tais que:
Isso significa que podemos multiplicar cada vetor e por esses números e somar os resultados para obter o vetor .
Passo 3
Vamos escrever essa equação componente a componente. Sabemos que:
Então, substituindo na equação da combinação linear:
Isso resulta em três equa��ões, uma para cada componente:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução que satisfaça todas as três equações.
Primeiro, pegamos as duas primeiras equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 5
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Então, encontramos que .
Passo 6
Agora, substituímos em uma das equações para encontrar . Vamos usar a segunda equação:
Então, temos e .
Passo 7
Agora, vamos verificar se esses valores de e satisfazem a terceira equação do sistema:
Substituindo e :
Isso não faz sentido, já que 9 não é igual a 25. Portanto, nossos valores de e não satisfazem a terceira equação.
Resposta
Não, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .