Seja B uma base de V^3. Verifique se o vetor u=(-1,3,9)B é uma combinação linear dos vetores v=(2,-1,5)B e w=(-1,1,3)B

Passo 1

Então, galera, a gente tem um exercício aqui onde precisamos verificar se um certo vetor, chamado de u=(-1, 3, 9)B, pode ser escrito como uma combinação linear de dois outros vetores, v=(2, -1, 5)B e w=(-1, 1, 3)B, dentro de uma base B de um espaço vetorial de três dimensões, V^3. Isso envolve entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que u é uma combinação linear de v e w se conseguir encontrar escalares (números) a e b tais que:
u = av + bw
Isso significa que podemos multiplicar cada vetor v e w por esses números e somar os resultados para obter o vetor u.

Passo 3

Vamos escrever essa equação componente a componente. Sabemos que:
u = (-1, 3, 9)
v = (2, -1, 5)
w = (-1, 1, 3)
Então, substituindo na equação da combinação linear:
(-1, 3, 9) = a(2, -1, 5) + b(-1, 1, 3)
Isso resulta em três equa��ões, uma para cada componente:
  1. -1 = 2a - b
  2. 3 = -a + b
  3. 9 = 5a + 3b

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( a e b). Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução que satisfaça todas as três equações.
Primeiro, pegamos as duas primeiras equações:
  1. -1 = 2a - b
  2. 3 = -a + b
Podemos resolver esse sistema para encontrar a e b.

Passo 5

Vamos somar as duas equações para eliminar b:
-1 + 3 = (2a - b) + (-a + b)
2 = a
Então, encontramos que a = 2.

Passo 6

Agora, substituímos a = 2 em uma das equações para encontrar b. Vamos usar a segunda equação:
3 = -a + b
3 = -2 + b
b = 5
Então, temos a = 2 e b = 5.

Passo 7

Agora, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação do sistema:
9 = 5a + 3b
Substituindo a = 2 e b = 5:
9 = 5(2) + 3(5)
9 = 10 + 15
9 = 25
Isso não faz sentido, já que 9 não é igual a 25. Portanto, nossos valores de a e b não satisfazem a terceira equação.

Resposta

Não, o vetor u=(-1, 3, 9)B não é uma combinação linear dos vetores v=(2, -1, 5)B e w=(-1, 1, 3)B.

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