Seja B uma base de
. Verifique se o vetor
é uma combinação linear dos vetores
e
Passo 1
Então, galera, a gente tem um exercício aqui onde precisamos verificar se um certo vetor, chamado de
, pode ser escrito como uma combinação linear de dois outros vetores,
e
, dentro de uma base
de um espaço vetorial de três dimensões,
. Isso envolve entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que
é uma combinação linear de
e
se conseguir encontrar escalares (números)
e
tais que:
Isso significa que podemos multiplicar cada vetor
e
por esses números e somar os resultados para obter o vetor
.
Passo 3
Vamos escrever essa equação componente a componente. Sabemos que:
Então, substituindo na equação da combinação linear:
Isso resulta em três equa��ões, uma para cada componente:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução que satisfaça todas as três equações.
Primeiro, pegamos as duas primeiras equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Então, encontramos que
.
Passo 6
Agora, substituímos
em uma das equações para encontrar
. Vamos usar a segunda equação:
Então, temos
e
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se esses valores de
e
satisfazem a terceira equação do sistema:
Substituindo
e
:
Isso não faz sentido, já que 9 não é igual a 25. Portanto, nossos valores de
e
não satisfazem a terceira equação.
Resposta
Não, o vetor
não é uma combinação linear dos vetores
e
.