Suponha que seja uma base e sejam e . Prove que é uma base de .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma base de um espaço vetorial . Nos dão três novos vetores:
E precisamos provar que também é uma base de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases e independência linear, além de saber calcular determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Para provar que é uma base, precisamos mostrar que os vetores são linearmente independentes e que eles geram .
Passo 3
Uma maneira prática de verificar isso é montar uma matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, consequentemente, formam uma base.
Vamos então construir a matriz :
Aqui, cada coluna representa um vetor em termos da base .
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Aplicando isso para nossa matriz:
Simplificando:
Passo 5
O determinante de foi calculado como 6, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Como eles são três vetores em e são linearmente independentes, eles também geram todo o espaço . Portanto, eles formam uma base.