Seja B uma base de V^3. Dados u=(1,-3,5)B e v=(-3,5,-2)B, encontre as coordenadas do vetor w em relação à base B, onde w=2 u-4 v.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço tridimensional com uma base . Os vetores e são fornecidos nas coordenadas dessa base. Queremos encontrar as coordenadas de um novo vetor , que é uma combinação linear de e , especificamente . Para resolver isso, vamos precisar aplicar operações de multiplicação por escalar e adição de vetores nas coordenadas fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 2u = 2 times (1, -3, 5)B = (2 times 1, 2 times -3, 2 times 5) = (2, -6, 10)B . As coordenadas de são . Multiplicando cada componente por 2:

Passo 3

Agora, vamos calcular -4v = -4 times (-3, 5, -2)B = (-4 times -3, -4 times 5, -4 times -2) = (12, -20, 8)B . As coordenadas de são . Multiplicando cada componente por -4:

Passo 4

Com os resultados de w = 2u - 4v = (2, -6, 10)B + (12, -20, 8)B = (2 + 12, -6 + (-20), 10 + 8) = (14, -26, 18)B e , agora vamos somá-los para encontrar :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são .

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