Seja
Encontre o valor de
tal que exista o
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda de fórmula dependendo do valor de
. O exercício pede para encontrar o valor de
que faz o limite de
quando
se aproxima de 2 existir. Vamos usar conceitos de limites e funções por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra que o limite de
em
exista, os limites pela esquerda e pela direita de 2 precisam ser iguais. Ou seja, o que a gente calcula quando
chega perto de 2 vindo dos valores menores que 2 (limite pela esquerda) deve ser igual ao que a gente calcula quando
chega perto de 2 vindo dos valores maiores ou iguais a 2 (limite pela direita).
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
). Quando
, a função é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita (
). Quando
, a função é
. Então:
Passo 5
Para que o limite exista, esses dois resultados precisam ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
O valor de
que faz o limite de
quando
se aproxima de 2 existir é
.