Seja
B(t)= 4-12 t & se t<2 raizt+c & se t >= 2
Encontre o valor de c tal que exista o lim t 2 B(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . O exercício pede para encontrar o valor de que faz o limite de quando se aproxima de 2 existir. Vamos usar conceitos de limites e funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra que o limite de em exista, os limites pela esquerda e pela direita de 2 precisam ser iguais. Ou seja, o que a gente calcula quando chega perto de 2 vindo dos valores menores que 2 (limite pela esquerda) deve ser igual ao que a gente calcula quando chega perto de 2 vindo dos valores maiores ou iguais a 2 (limite pela direita).

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( limt to 2^- B(t) = 4 - 12 times 2 = 4 - 1 = 3 ). Quando , a função é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( limt to 2^+ B(t) = raiz2 + c ). Quando , a função é . Então:

Passo 5

Para que o limite exista, esses dois resultados precisam ser iguais:
3 = raiz2 + c
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
3^2 = (raiz2 + c)^2 9 = 2 + c

Passo 7

Agora, isolamos c = 9 - 2 c = 7 :

Resposta

O valor de que faz o limite de quando se aproxima de 2 existir é .

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