Calcule o limite, se existir.
lim x -2 x^2-x-63 x^2+5 x-2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando se aproxima de da função . Vamos usar o conteúdo de limites de funções racionais, onde a gente substitui o valor de na função, mas primeiro vamos ver se conseguimos simplificar essa fração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) . Procura dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, o numerador fica:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador 3x^2 + 5x - 2 = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x(x + 2) -1(x + 2) = (3x -1)(x + 2) . Precisamos de dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Então, reescrevemos o denominador:

Passo 4

Com as fatorações, nossa expressão fica:
(x - 3)(x + 2)(3x -1)(x + 2)
A gente pode cancelar o que está no numerador e no denominador, já que não está se aproximando de de uma forma que torne o denominador zero.

Passo 5

Agora, a expressão simplificada é:
x - 33x -1
Agora, podemos substituir diretamente na expressão simplificada.

Passo 6

Substituindo:
-2 - 33(-2) -1 = -5-6 -1 = -5-7 = 57

Resposta

O limite é .

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