Seja barX a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição N(mu, 10). Encontre n tal que
P(barX-1 / 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma média amostral, barX, de uma amostra aleatória de tamanho n proveniente de uma distribuição normal N(mu, 10). O objetivo é encontrar o valor de n que garante que a probabilidade de mu estar dentro do intervalo barX pm 12 seja de 0,954. Ou seja, queremos que:
P(barX - 12 < mu < barX + 12) = 0,954
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição amostral da média e intervalos de confiança.

Passo 2

Sabemos que a média amostral barX de uma distribuição normal N(mu, sigma^2) também segue uma distribuição normal com média mu e variância sigma^2n. No nosso caso, sigma^2 = 10, então:
barX sim N(mu, 10n)

Passo 3

Queremos encontrar n tal que o intervalo barX pm 12 contenha mu com probabilidade 0,954. Isso é semelhante a construir um intervalo de confiança em torno da média amostral. A probabilidade de 0,954 corresponde a aproximadamente 95,4%, que na distribuição normal está associada a um valor z de cerca de 2 (mais precisamente, 1,96, mas usaremos 2 para simplificação).

Passo 4

Configuramos a equação usando o valor z:
z cdot raiz10n = 12
Substituindo z = 2:
2 cdot raiz10n = 12

Passo 5

Agora, resolvemos para n:
2 cdot raiz10n = 12 raiz10n = 14 10n = (14)^2 10n = 116 n = 10 cdot 16 n = 160

Resposta

O tamanho da amostra necessário é n = 160.

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