Seja
a média de uma amostra aleatória de tamanho
de uma distribuição
. Encontre
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma média amostral,
, de uma amostra aleatória de tamanho
proveniente de uma distribuição normal
. O objetivo é encontrar o valor de
que garante que a probabilidade de
estar dentro do intervalo
seja de 0,954. Ou seja, queremos que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre distribuição amostral da média e intervalos de confiança.
Passo 2
Sabemos que a média amostral
de uma distribuição normal
também segue uma distribuição normal com média
e variância
. No nosso caso,
, então:
Passo 3
Queremos encontrar
tal que o intervalo
contenha
com probabilidade 0,954. Isso é semelhante a construir um intervalo de confiança em torno da média amostral. A probabilidade de 0,954 corresponde a aproximadamente 95,4%, que na distribuição normal está associada a um valor z de cerca de 2 (mais precisamente, 1,96, mas usaremos 2 para simplificação).
Passo 4
Configuramos a equação usando o valor z:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é
.