Seja
o valor observado de uma amostra aleatória de tamanho
da distribuição
. Obtenha o intervalo de confiança com cobertura de
para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória de tamanho $ n = 20 $ da distribuição normal $ \mathrm{N}(\mu, 80) $, onde $ \bar{X} = 81.2 $ é a média observada. O objetivo é encontrar o intervalo de confiança de 95% para o parâmetro $ \mu $. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente sobre intervalos de confiança para a média quando a variância é conhecida.
Passo 2
Como estamos lidando com uma distribuição normal e conhecemos a variância ($ \sigma^2 = 80 $), podemos usar a fórmula do intervalo de confiança baseada na distribuição Z. A fórmula é:
Aqui, $ \bar{X} $ é a média amostral, $ Z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição Z para o nível de confiança desejado, $ \sigma $ é o desvio padrão da população, e $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar o valor crítico $ Z_{\alpha/2} $ para um intervalo de confiança de 95%. Isso significa que $ \alpha = 0.05 $ e $ \alpha/2 = 0.025 $. Consultando uma tabela Z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é $ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $. Sabemos que $ \sigma^2 = 80 $, então $ \sigma = \sqrt{80} $.
Passo 5
Com o valor crítico e o erro padrão calculados, podemos agora montar o intervalo de confiança:
Isso significa que:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para $ \mu $ é de 77.28 a 85.12.