Seja
uma base ortonormal. Sendo
prove que
é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor
em relação à base
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar que a base
é uma base ortonormal e, depois, calcular as coordenadas do vetor
nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre bases ortonormais e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto escalar entre qualquer par de vetores é zero) e que cada vetor tem comprimento 1. Então, para provar que
é uma base ortonormal, precisamos mostrar duas coisas:
- Cada vetor
, e tem comprimento 1. - Os vetores são ortogonais entre si.
Passo 3
Vamos verificar o comprimento de cada vetor.
Para
:
Para
:
Para
:
Todos os vetores têm comprimento 1. Agora vamos verificar se eles são ortogonais entre si.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Por último,
:
Como todos os produtos escalares são zero, os vetores são ortogonais entre si. Assim,
é uma base ortonormal.
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor
na base
. Como
é uma base ortonormal, as coordenadas podem ser encontradas pelos produtos escalares de
com cada vetor da base.
Portanto, temos:
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são: