Seja E=(i, j, k) uma base ortonormal. Sendo
u=1raiz3(i+j-k), v=1raiz2(j+k), e w=1raiz6(2 i-j+k)
prove que F=(u, v, w) é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a=i-2 j-k em relação à base F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar que a base é uma base ortonormal e, depois, calcular as coordenadas do vetor nessa base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre bases ortonormais e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortonormal. Uma base é um conjunto de vetores que são mutuamente ortogonais (ou seja, o produto escalar entre qualquer par de vetores é zero) e que cada vetor tem comprimento 1. Então, para provar que é uma base ortonormal, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Cada vetor , e tem comprimento 1.
  2. Os vetores são ortogonais entre si.

Passo 3

Vamos verificar o comprimento de cada vetor.
Para |u| = raiz(1raiz3)^2 + (1raiz3)^2 + (-1raiz3)^2 = raiz13 + 13 + 13 = raiz1 = 1 :
|v| = raiz(1raiz2)^2 + (1raiz2)^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1
Para |w| = raiz(2raiz6)^2 + (-1raiz6)^2 + (1raiz6)^2 = raiz46 + 16 + 16 = raiz1 = 1 :
Para :
Todos os vetores têm comprimento 1. Agora vamos verificar se eles são ortogonais entre si.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores.
Primeiro, u cdot v = 1raiz3(i + j - k) cdot 1raiz2(j + k) = 1raiz6(0 + 1 - 1) = 0 :
u cdot w = 1raiz3(i + j - k) cdot 1raiz6(2i - j + k) = 1raiz18(2 -1 -1) = 0
Segundo, v cdot w = 1raiz2(j + k) cdot 1raiz6(2i - j + k) = 1raiz12(0 -1 +1) = 0 :
Por último, :
Como todos os produtos escalares são zero, os vetores são ortogonais entre si. Assim, é uma base ortonormal.

Passo 5

Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor a1 = a cdot u = (i - 2j - k) cdot 1raiz3(i + j - k) = 1raiz3(1 - 2 - (-1)) = 0raiz3 = 0 na base a2 = a cdot v = (i - 2j - k) cdot 1raiz2(j + k) = 1raiz2(0 -2 -1) = -3raiz2 . Como a3 = a cdot w = (i - 2j - k) cdot 1raiz6(2i - j + k) = 1raiz6(2 - (-2) -1) = 3raiz6 = raiz62 é uma base ortonormal, as coordenadas podem ser encontradas pelos produtos escalares de com cada vetor da base.
Portanto, temos:

Resposta

As coordenadas do vetor a = 0,u - 3raiz2,v + raiz62,w na base são:

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