Seja a elipse, em , com equação . Determine o trabalho realizado pela força quando atua em um objeto que se move sobre no sentido anti-horário, saindo do ponto e retornando ao ponto .
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos pede para determinar o trabalho realizado por uma força específica quando um objeto se move ao longo de uma elipse no plano, começando e terminando no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado por uma integral de linha:
Aqui, é o campo de força, e é a elipse definida por .
Passo 3
Antes de calcular a integral diretamente, vamos verificar se o campo de força é conservativo. Um campo é conservativo se sua circulação ao longo de qualquer caminho fechado for zero. Para isso, calculamos o rotacional de :
Como o rotacional não é zero, não é um campo conservativo. Isso significa que precisamos calcular a integral de linha diretamente ou usar outra estratégia.
Passo 4
Uma maneira mais fácil de calcular a integral de linha em torno de um caminho fechado é usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva:
Onde é a região dentro da elipse .
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green ao nosso caso:
A integral dupla representa a área da região , que é a elipse. A área de uma elipse é dada por:
Onde e são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, e , então:
Passo 6
Substituindo a área na expressão para o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)
Calcule as seguintes integrais: (usando integração por partes: )