Calcule as seguintes integrais: (usando integração por partes: ) integral x cdot ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a , ou seja, . Vamos usar a técnica chamada “integração por partes”, que ajuda bastante quando temos o produto de duas funções como aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente precisa identificar qual parte da nossa integral será e qual será . A escolha certa facilita tudo!

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x e dv = x , dx
Agora, precisamos calcular du = 1x , dx (a derivada de ln x ) e v = integral x , dx = x^22 :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 6

Voltando à nossa expressão:
integral x cdot ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de x^22 ln x - x^24 + C é:

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