Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que fazer o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial dado por . Isso envolve conhecimentos de vetores e campos vetoriais, que são partes importantes da matéria de cálculo vetorial. Para resolver isso, precisamos saber como representar graficamente vetores em um plano e entender o que o campo vetorial significa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um campo vetorial que depende das coordenadas e . A notação representa o vetor unitário na direção do eixo . Então, tem apenas componente na direção , e essa componente é igual a . Ou seja, o vetor no ponto é vezes o vetor .

Passo 3

Agora, vamos escolher alguns pontos representativos no plano para desenhar os vetores. Por exemplo, podemos escolher os pontos , , , e . Para cada um desses pontos, calculamos o vetor .
Vamos calcular:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Com os vetores calculados, vamos representá-los graficamente. Cada vetor será desenhado com sua origem no ponto correspondente e com a direção e magnitude determinadas pelas componentes e .
Por exemplo:
  • No ponto , desenhamos um vetor que vai até .
  • No ponto , desenhamos um vetor que vai até .
  • No ponto , desenhamos um vetor que vai até .
  • No ponto , desenhamos um vetor que vai até .
Esses vetores mostram como o campo vetorial se comporta em diferentes pontos do plano.

Resposta

O gráfico do campo vetorial consiste em vetores verticais que, em cada ponto , têm magnitude igual a . Assim, para valores positivos de , os vetores apontam para cima com maior comprimento conforme aumenta, e para valores negativos de , apontam para baixo com maior comprimento conforme diminui.

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a)
Considere uma parte da hélice em representada por , . Calcule:
a)
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b)
Seja a elipse, em , com equação . Determine o trabalho realizado pela força quando atua em um objeto que se move sobre no sentido anti-horário, saindo do ponto e retornando ao ponto .