Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)
c)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos que fazer o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial dado por
. Isso envolve conhecimentos de vetores e campos vetoriais, que são partes importantes da matéria de cálculo vetorial. Para resolver isso, precisamos saber como representar graficamente vetores em um plano e entender o que o campo vetorial
significa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é um campo vetorial que depende das coordenadas
e
. A notação
representa o vetor unitário na direção do eixo
. Então,
tem apenas componente na direção
, e essa componente é igual a
. Ou seja, o vetor no ponto
é
vezes o vetor
.
Passo 3
Agora, vamos escolher alguns pontos representativos no plano
para desenhar os vetores. Por exemplo, podemos escolher os pontos
,
,
, e
. Para cada um desses pontos, calculamos o vetor
.
Vamos calcular:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Com os vetores calculados, vamos representá-los graficamente. Cada vetor será desenhado com sua origem no ponto correspondente
e com a direção e magnitude determinadas pelas componentes
e
.
Por exemplo:
- No ponto
, desenhamos um vetor que vai até . - No ponto
, desenhamos um vetor que vai até . - No ponto
, desenhamos um vetor que vai até . - No ponto
, desenhamos um vetor que vai até .
Esses vetores mostram como o campo vetorial
se comporta em diferentes pontos do plano.
Resposta
O gráfico do campo vetorial
consiste em vetores verticais que, em cada ponto
, têm magnitude igual a
. Assim, para valores positivos de
, os vetores apontam para cima com maior comprimento conforme
aumenta, e para valores negativos de
, apontam para baixo com maior comprimento conforme
diminui.
Exercícios relacionados
Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
a)
a)
Considere
uma parte da hélice em
representada por
,
. Calcule:
a)
a)
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
b)
b)
Seja
a elipse, em
, com equação
. Determine o trabalho realizado pela força
quando atua em um objeto que se move sobre
no sentido anti-horário, saindo do ponto
e retornando ao ponto
.