Seja
. Considerem-se as seguintes relaçôes em
:
Quais são reflexivas? E simétricas? E transitivas? E antissimétricas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um conjunto
e várias relações sobre ele. A gente precisa descobrir quais dessas relações são reflexivas, simétricas, transitivas e antissimétricas. Para isso, vamos relembrar o que cada uma dessas propriedades significa e aplicar essas definições em cada relação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma relação reflexiva. Uma relação
em
é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, o par
deve estar em
.
Passo 3
Agora, vamos ver a simetria. Uma relação
é simétrica se, sempre que
está em
, então
também está em
.
Passo 4
Vamos lembrar também da transitividade. Uma relação
é transitiva se, sempre que
e
estão em
, então
também está em
.
Passo 5
Por último, a antissimetria. Uma relação
é antissimétrica se, sempre que
e
estão em
, então
.
Passo 6
Vamos analisar cada relação:
Relação
- Reflexiva: Sim, porque todos os pares
estão presentes. - Simétrica: Sim, pois para cada
, também está (neste caso, são os mesmos pares). - Transitiva: Sim, já que não há casos onde
e levam a um novo par que já está na relação. - Antissimétrica: Sim, porque não há pares distintos
e com .
Relação
- Reflexiva: Sim, todos os
estão presentes. - Simétrica: Não, por exemplo,
está em mas não está. - Transitiva: Sim, pois todas as composições de pares resultam em pares que já estão em
. - Antissimétrica: Sim, não há pares
e com .
Relação
- Reflexiva: Não, falta
e . - Simétrica: Não, por exemplo,
está em e também, mas como nem todos os pares simétricos estão presentes, dependendo dos casos pode não ser consistente. - Transitiva: Não, por exemplo,
e estariam, mas já está, porém há casos onde a transitividade falha. - Antissimétrica: Não, porque existem pares
e com .
Relação
- Reflexiva: Sim, porque todos os pares
estão incluídos. - Simétrica: Sim, já que para cada
, também está. - Transitiva: Sim, qualquer composição de pares está em
. - Antissimétrica: Não, porque existem muitos pares
e com .
Resposta
- Reflexivas:
, , - Simétricas:
, - Transitivas:
, , - Antissimétricas:
, ,