Seja E=1,2,3. Considerem-se as seguintes relaçôes em E :
l R1=(1,1),(2,2),(3,3) R2=(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3) R3=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) R4=E times E R5=
Quais são reflexivas? E simétricas? E transitivas? E antissimétricas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um conjunto e várias relações sobre ele. A gente precisa descobrir quais dessas relações são reflexivas, simétricas, transitivas e antissimétricas. Para isso, vamos relembrar o que cada uma dessas propriedades significa e aplicar essas definições em cada relação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma relação reflexiva. Uma relação em é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , o par deve estar em .

Passo 3

Agora, vamos ver a simetria. Uma relação é simétrica se, sempre que está em , então também está em .

Passo 4

Vamos lembrar também da transitividade. Uma relação é transitiva se, sempre que e estão em , então também está em .

Passo 5

Por último, a antissimetria. Uma relação é antissimétrica se, sempre que e estão em , então .

Passo 6

Vamos analisar cada relação:

Relação

  • Reflexiva: Sim, porque todos os pares estão presentes.
  • Simétrica: Sim, pois para cada , também está (neste caso, são os mesmos pares).
  • Transitiva: Sim, já que não há casos onde e levam a um novo par que já está na relação.
  • Antissimétrica: Sim, porque não há pares distintos e com .

Relação

  • Reflexiva: Sim, todos os estão presentes.
  • Simétrica: Não, por exemplo, está em mas não está.
  • Transitiva: Sim, pois todas as composições de pares resultam em pares que já estão em .
  • Antissimétrica: Sim, não há pares e com .

Relação

  • Reflexiva: Não, falta e .
  • Simétrica: Não, por exemplo, está em e também, mas como nem todos os pares simétricos estão presentes, dependendo dos casos pode não ser consistente.
  • Transitiva: Não, por exemplo, e estariam, mas já está, porém há casos onde a transitividade falha.
  • Antissimétrica: Não, porque existem pares e com .

Relação

  • Reflexiva: Sim, porque todos os pares estão incluídos.
  • Simétrica: Sim, já que para cada , também está.
  • Transitiva: Sim, qualquer composição de pares está em .
  • Antissimétrica: Não, porque existem muitos pares e com .

Resposta

  • Reflexivas: , ,
  • Simétricas: ,
  • Transitivas: , ,
  • Antissimétricas: , ,

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