Sejam beta=[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] base de M2 times 2(R), alpha=(1,0),(0,1) base do R^2 e T: R^2 M2 times 2(R) tal que [T]beta^alpha=[rr2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1].
Obtenha T(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformações lineares. A gente precisa descobrir como a transformação age sobre um vetor qualquer no espaço . Para isso, vamos usar a base fornecida para as matrizes e para , além da matriz de representação da transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 de . Ela é composta pelas matrizes:
Cada uma dessas matrizes representa uma “base” para todas as matrizes , ou seja, qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas bases.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz de representação [T]beta^alpha = 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 que é dada por:
T(x, y) = x cdot T(1, 0) + y cdot T(0, 1)
Essa matriz nos diz como transforma os vetores da base de nas matrizes de .
Para encontrar , usamos a ideia de que é uma transformação linear, então:
Aqui, é a primeira coluna da matriz e é a segunda coluna.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
T(1, 0) = 2 1 & 0 0 & 0 + 1 0 & 1 0 & 0 -1 0 & 0 1 & 0 + 0 0 & 0 0 & 1 = 2 & 1 -1 & 0
T(0, 1) = 1 1 & 0 0 & 0 -1 0 & 1 0 & 0 +0 0 & 0 1 & 0 +1 0 & 0 0 & 1 = 1 & -1 0 & 1
Agora, juntando tudo:
T(x, y) = x 2 & 1 -1 & 0 + y 1 & -1 0 & 1 = 2x + y & x - y -x & y

Resposta

Portanto, a transformação T(x, y) = 2x + y & x - y -x & y é dada por:

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