Sejam base de , base do e tal que .
Obtenha T(x, y)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformações lineares. A gente precisa descobrir como a transformação age sobre um vetor qualquer no espaço . Para isso, vamos usar a base fornecida para as matrizes e para , além da matriz de representação da transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 de . Ela é composta pelas matrizes:
Cada uma dessas matrizes representa uma “base” para todas as matrizes , ou seja, qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dessas bases.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz de representação [T]beta^alpha = 2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1 que é dada por:
T(x, y) = x cdot T(1, 0) + y cdot T(0, 1)
Essa matriz nos diz como transforma os vetores da base de nas matrizes de .
Para encontrar , usamos a ideia de que é uma transformação linear, então:
Aqui, é a primeira coluna da matriz e é a segunda coluna.