tem a propriedade que . É possível para uma matriz simétrica não nula ter essa propriedade? Demonstre sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem que, ao ser elevada ao quadrado, resulta na matriz zero (). A pergunta é: será que uma matriz simétrica que não seja nula pode ter essa propriedade? Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas e suas propriedades, para resolver isso.
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Para uma matriz , isso significa que os elementos fora da diagonal principal são iguais: se , então é simétrica se .
Passo 3
Agora, vamos considerar uma matriz simétrica geral:
Queremos que . Vamos calcular :
Para que , todos os elementos da matriz resultante devem ser iguais a zero.
Passo 4
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos analisar essas equações. A primeira e a terceira equações indicam que a = 0, b = 0, d = 0 e . Em números reais, a soma de quadrados só é igual a zero se cada termo individual for zero. Portanto:
Passo 5
Com A = 0 & 0 0 & 0 , e , a matriz se torna:
Essa é a matriz nula. A questão pede uma matriz não nula, ou seja, pelo menos um elemento diferente de zero.
Resposta
Não, não é possível uma matriz simétrica não nula ter a propriedade .