A matriz
A=(ll 1 & -1 1 & -1 )
tem a propriedade que A^2=0. É possível para uma matriz simétrica 2 times 2 não nula ter essa propriedade? Demonstre sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem que, ao ser elevada ao quadrado, resulta na matriz zero ( ). A pergunta é: será que uma matriz simétrica que não seja nula pode ter essa propriedade? Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas e suas propriedades, para resolver isso.

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz a & b c & d é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Para uma matriz , isso significa que os elementos fora da diagonal principal são iguais: se , então é simétrica se .

Passo 3

Agora, vamos considerar uma matriz simétrica A = a & b b & d geral:
A^2 = A cdot A = a & b b & d a & b b & d = a^2 + b^2 & ab + bd ab + bd & b^2 + d^2
Queremos que . Vamos calcular :
Para que , todos os elementos da matriz resultante devem ser iguais a zero.

Passo 4

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a^2 + b^2 = 0 ab + bd = 0 b^2 + d^2 = 0
Vamos analisar essas equações. A primeira e a terceira equações indicam que a = 0, b = 0, d = 0 e . Em números reais, a soma de quadrados só é igual a zero se cada termo individual for zero. Portanto:

Passo 5

Com A = 0 & 0 0 & 0 , e , a matriz se torna:
Essa é a matriz nula. A questão pede uma matriz não nula, ou seja, pelo menos um elemento diferente de zero.

Resposta

Não, não é possível uma matriz simétrica não nula ter a propriedade .

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