Seja um corpo em uma mola, com uma posição dada por x=5 cos (9 t). (a) Qual é a velocidade máxima do corpo?

Passo 1

O enunciado diz que a posição de um corpo numa mola é dada por . Isso quer dizer que estamos lidando com Movimento Harmônico Simples, que estuda movimentos oscilatórios como o de massas e molas. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade máxima desse corpo. Para isso, vamos precisar derivar a função da posição para achar a velocidade e depois determinar qual é o valor máximo dessa velocidade.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dxdt = -5 times 9 sin(9t) = -45 sin(9t) em relação a .
A derivada de em relação a é , onde é uma constante. Aplicando isso:

Passo 3

A função da velocidade obtida foi . Sabemos que a função seno ( ) varia entre -1 e 1. Isso significa que o valor máximo que pode alcançar é 1 (ou -1, mas estamos interessados no valor absoluto para a velocidade máxima).

Passo 4

Para encontrar a velocidade máxima, multiplicamos o coeficiente de vmáx = 45 times 1 = 45 pelo valor máximo que a função seno pode assumir:
á

Resposta

A velocidade máxima do corpo é .

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