Seja um disco de raio
, centrado no plano
, carregado com uma densidade superficial uniforme de cargas
).
c. Determine o campo vetorial
em um ponto
a partir do potencial obtido no item anterior.
c. Determine o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio $ a $ carregado uniformemente com uma densidade de carga superficial $ \rho_s $. A gente precisa encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto específico acima do disco, no ponto $ (0, 0, z) $, usando o potencial elétrico que foi calculado na parte anterior. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, lembra que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. No nosso caso, como estamos lidando com simetria axial (o ponto está ao longo do eixo $ z $), só precisamos calcular a derivada do potencial em relação a $ z $.
Passo 3
Então, vamos focar na componente $ z $ do campo elétrico. A expressão simplificada fica:
Precisamos então derivar a expressão para o potencial $ V(z) $ que provavelmente tem a forma:
onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ V(z) $ em relação a $ z $:
Como estamos considerando $ z > 0 $, $ |z| = z $, então simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicando a relação do passo 3:
Simplificando os sinais:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ (0, 0, z) $ é dado por: