Uma dada distribuição de cargas no espaço livre produz o seguinte campo elétrico:
E=cc 0 & rb
em que k é uma constante. Considere os itens a seguir.
d. Determine o fluxo líquido do campo vetorial densidade de fluxo elétrico D através de uma esfera centrada na origem definida por r=b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido! Temos um campo elétrico E que muda de expressão dependendo da distância r do centro. A questão quer que a gente encontre o fluxo líquido do vetor densidade de fluxo elétrico D através de uma esfera de raio b. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a relação entre E e D e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de fluxo elétrico D está relacionada ao campo elétrico E pela fórmula:
D = varepsilon0 E
Aqui, varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

O fluxo elétrico PhiD através de uma superfície fechada é dado por:
PhiD = oint D cdot dA
Como o campo D é radial (aponta na direção de r) e a superfície é uma esfera de raio b, a integral se simplifica para:
PhiD = D(r=b) cdot 4pi b^2

Passo 4

Vamos calcular D(r=b). Para r > b, o campo elétrico é dado por:
E = k2 varepsilon0 b^2 - a^2r^2 r
Substituindo r = b nessa expressão:
E(r=b) = k2 varepsilon0 b^2 - a^2b^2 = k2 varepsilon0 (1 - a^2b^2)
Agora, multiplicamos por varepsilon0 para encontrar D(r=b):
D(r=b) = varepsilon0 E(r=b) = varepsilon0 cdot k2 varepsilon0 (1 - a^2b^2) = k2 (1 - a^2b^2)

Passo 5

Finalmente, substituímos D(r=b) na fórmula do fluxo:
PhiD = k2 (1 - a^2b^2) cdot 4pi b^2 = 2pi k (b^2 - a^2)

Resposta

O fluxo líquido do campo D através da esfera de raio b é PhiD = 2pi k (b^2 - a^2).

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