Considere um plano carregado de dimensões muito grandes, localizado em z=0 (plano x y ), com densidade superficial de cargas uniforme rhos(C / m 2). Calcule o vetor intensidade de campo elétrico E em um ponto qualquer do espaço de duas formas distintas:
a. aplicação direta da Lei de Coulomb;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletricidade! A gente tem um plano infinito, como uma folha de papel sem fim, localizado no plano (plano ), com uma densidade superficial de carga (em Coulombs por metro quadrado). O que precisamos fazer é calcular o vetor intensidade do campo elétrico em qualquer ponto do espaço usando a Lei de Coulomb diretamente. Para isso, vamos precisar entender como a Lei de Coulomb se aplica a distribuições contínuas de carga, como um plano infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb. Ela nos diz que a força elétrica F = ke q Qr^2 r entre duas cargas puntiformes e separadas por uma distância é dada por:
onde é a constante de Coulomb ( ), e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

No nosso caso, temos uma distribuição contínua de cargas (a folha infinita), então precisamos adaptar a Lei de Coulomb para integrá-la sobre toda a superfície carregada. A intensidade do campo elétrico E = ke integral dqr^2 r devido a uma carga contínua é dada por:
onde é um elemento de carga na superfície, é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo, e é a direção desse vetor.

Passo 4

Vamos considerar um ponto no espaço com coordenadas , ou seja, ao longo do eixo . Devido à simetria do problema (plano infinito e distribuição uniforme), o campo elétrico terá apenas componente na direção .

Passo 5

Agora, vamos expressar dq = rhos , dA em termos da densidade superficial de carga e do elemento de área :
No plano , podemos escrever .

Passo 6

A distância do elemento de carga r = raizx^2 + y^2 + z^2 até o ponto r = ( -x i - y j + z k)raizx^2 + y^2 + z^2 é:
E o vetor unitário na direção de é:
Mas, devido à simetria, as componentes e se cancelam quando integramos sobre todo o plano, restando apenas a componente .

Passo 7

Então, a componente Ez = ke rhos integral-infty^infty integral-infty^infty z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 , dx , dy do campo elétrico é:
Vamos trocar para coordenadas polares para facilitar a integração. Definimos e , portanto .

Passo 8

Substituindo na integral:
Ez = ke rhos z integral0^2pi integral0^infty r(r^2 + z^2)^3/2 , dr , dtheta
A integral em integral0^2pi dtheta = 2pi é simples:

Passo 9

Focamos agora na integral em integral0^infty r(r^2 + z^2)^3/2 , dr :
12 integralz^2^infty u^-3/2 , du = 12 [ -2u^-1/2 ]z^2^infty = 12 ( 0 - (-2 z^-1) ) = 1z
Fazendo a substituição , , então . Substituindo:

Passo 10

Substituindo de volta:
Ez = ke rhos z cdot 2pi cdot 1z = 2pi ke rhos
Lembrando que Ez = 2pi4pi varepsilon0 rhos = rhos2 varepsilon0 , então:

Resposta

O vetor intensidade do campo elétrico E = rhos2 varepsilon0 k em qualquer ponto do espaço devido a um plano infinito com densidade superficial de carga é:
onde é a direção positiva do eixo .

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