Considere um plano carregado de dimensões muito grandes, localizado em
(plano
), com densidade superficial de cargas uniforme
. Calcule o vetor intensidade de campo elétrico
em um ponto qualquer do espaço de duas formas distintas:
a. aplicação direta da Lei de Coulomb;
a. aplicação direta da Lei de Coulomb;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletricidade! A gente tem um plano infinito, como uma folha de papel sem fim, localizado no plano
(plano
), com uma densidade superficial de carga
(em Coulombs por metro quadrado). O que precisamos fazer é calcular o vetor intensidade do campo elétrico
em qualquer ponto do espaço usando a Lei de Coulomb diretamente. Para isso, vamos precisar entender como a Lei de Coulomb se aplica a distribuições contínuas de carga, como um plano infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb. Ela nos diz que a força elétrica
entre duas cargas puntiformes
e
separadas por uma distância
é dada por:
onde
é a constante de Coulomb (
), e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
No nosso caso, temos uma distribuição contínua de cargas (a folha infinita), então precisamos adaptar a Lei de Coulomb para integrá-la sobre toda a superfície carregada. A intensidade do campo elétrico
devido a uma carga contínua é dada por:
onde
é um elemento de carga na superfície,
é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo, e
é a direção desse vetor.
Passo 4
Vamos considerar um ponto
no espaço com coordenadas
, ou seja, ao longo do eixo
. Devido à simetria do problema (plano infinito e distribuição uniforme), o campo elétrico terá apenas componente na direção
.
Passo 5
Agora, vamos expressar
em termos da densidade superficial de carga
e do elemento de área
:
No plano
, podemos escrever
.
Passo 6
A distância do elemento de carga
até o ponto
é:
E o vetor unitário na direção de
é:
Mas, devido à simetria, as componentes
e
se cancelam quando integramos sobre todo o plano, restando apenas a componente
.
Passo 7
Então, a componente
do campo elétrico é:
Vamos trocar para coordenadas polares para facilitar a integração. Definimos
e
, portanto
.
Passo 8
Substituindo na integral:
A integral em
é simples:
Passo 9
Focamos agora na integral em
:
Fazendo a substituição
,
, então
. Substituindo:
Passo 10
Substituindo de volta:
Lembrando que
, então:
Resposta
O vetor intensidade do campo elétrico
em qualquer ponto do espaço devido a um plano infinito com densidade superficial de carga
é:
onde
é a direção positiva do eixo
.