Seja a EDO dada por M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
  • Se fraction numerator 1 over denominator N left parenthesis x comma y right parenthesis end fraction open square brackets fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction M left parenthesis x comma y right parenthesis minus fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction N left parenthesis x comma y right parenthesis close square brackets equals h left parenthesis x right parenthesis é uma função só de x, o fator integrante será calculado por e to the power of integral h left parenthesis x right parenthesis d x end exponent
  • fraction numerator 1 over denominator M left parenthesis x comma y right parenthesis end fraction open square brackets fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction N left parenthesis x comma y right parenthesis minus fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction M left parenthesis x comma y right parenthesis close square brackets equals k left parenthesis y right parenthesis é uma função só de y, o fator integrante será calculado por e to the power of integral k left parenthesis y right parenthesis d y end exponent
    Baseado no texto-base e nos conteúdos das aulas, calcule o fator integrante, mu left parenthesis x right parenthesis, para a equação diferencial dada por left parenthesis x plus y minus 5 right parenthesis plus left parenthesis x minus y squared plus 3 right parenthesis fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 0 e assinale a alternativa que o representa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A gente recebeu uma equação diferencial ordinária (EDO) na forma $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $. Nosso objetivo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $ dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na nossa equação:
M(x, y)
N(x, y)

Passo 3

O próximo passo é verificar se a equação já é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(x + y - 5) = 1
partial Npartial x = partialpartial x(x - y^2 + 3) = 1

Passo 4

Agora, verificamos a condição para a exatidão:
partial Mpartial y - partial Npartial x = 1 - 1 = 0
Como essa diferença é zero, a equação já é exata, o que significa que o fator integrante $ \mu(x) $ é simplesmente $ 1 $.

Resposta

O fator integrante $ \mu(x) $ para a equação diferencial dada é $ \mu(x) = 1 $.

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