The shaft at O drives the arm O A at a clockwise speed of 90 rev / min about the fixed bearing at O. Use the method of the instantaneous center of zero velocity to determine the rotational speed of gear B (gear teeth not shown) if ring gear D rotates counterclockwise about O with an angular speed of 80 rev / min.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um eixo em $ O $ que está girando a uma velocidade de $ 90 , rev/min $ no sentido horário, movimentando o braço $ OA $. Além disso, o anel $ D $ está girando em torno de $ O $ no sentido anti-horário a $ 80 , rev/min $. Precisamos determinar a velocidade de rotação da engrenagem $ B $ usando o método do centro instantâneo de velocidade zero. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática rotacional e como aplicar o método do centro instantâneo.

Passo 2

Vamos começar identificando os centros instantâneos de velocidade zero. O método do centro instantâneo nos ajuda a encontrar pontos onde a velocidade é nula em sistemas que estão se movendo. Neste caso, como o braço $ OA $ está girando em torno de $ O $, o centro instantâneo está em $ O $.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a relação entre as velocidades angulares das engrenagens. Sabemos que a relação entre as velocidades angulares ($ \omega $) de duas engrenagens que estão em contato é inversamente proporcional à relação dos seus raios ou ao número de dentes, dependendo do que for dado. Como não temos os dentes das engrenagens, focaremos na relação das velocidades angulares.

Passo 4

Usando a regra de que quando duas engrenagens estão em contato, a velocidade linear na borda é a mesma para ambas, temos:
omegaA times RA = omegaB times RB
Onde $ \omega_A $ é a velocidade angular do braço $ OA $, $ R_A $ é o raio de $ OA $, $ \omega_B $ é a velocidade angular da engrenagem $ B $, e $ R_B $ é o raio de $ B $.

Passo 5

Como não temos os raios, podemos considerar a relação das velocidades angulares diretamente. Sabemos que o braço $ OA $ gira a $ 90 , rev/min $ e o anel $ D $ a $ 80 , rev/min $. Usando a relação inversa:
OA
Mas sem os raios, assumimos que a relação das velocidades angulares seja proporcionalmente inversa.

Passo 6

Considerando que o anel $ D $ está girando no sentido anti-horário a $ 80 , rev/min $ e o braço $ OA $ no sentido horário a $ 90 , rev/min $, a velocidade angular da engrenagem $ B $ será a soma das duas velocidades devido aos movimentos contrários:
D

Resposta

A velocidade de rotação da engrenagem $ B $ é de $ 170 , rev/min $ no sentido horário.

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