Suponha
uma variável aleatória discreta com espaço de variação
e função de probabilidade dada por
onde
é uma constante positiva.
b) Calcule o valor esperado de
.
b) Calcule o valor esperado de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma variável aleatória discreta $ Y $ que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 ou 5. A função de probabilidade dela é dada por $ p_Y(k) = c \cdot k $, onde $ c $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado de $ Y $, que basicamente nos diz a média ponderada dos valores que $ Y $ pode assumir.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória deve ser igual a 1. Então, vamos somar todas as probabilidades:
Substituindo $ p_Y(k) = c \cdot k $:
Passo 3
Agora, vamos somar os termos:
Passo 4
Para encontrar $ c $, basta dividir ambos os lados da equação por 15:
Passo 5
Com o valor de $ c $ determinado, podemos calcular o valor esperado $ E[Y] $. A fórmula para o valor esperado de uma variável discreta é:
Substituindo $ p_Y(k) = \frac{1}{15} \cdot k $:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Vamos calcular a soma dos quadrados:
Passo 7
Substituindo na expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado de $ Y $ é $ \frac{11}{3} $ ou aproximadamente 3,67.