Suponha Y uma variável aleatória discreta com espaço de variação RY=1,2,3,4,5 e função de probabilidade dada por
pY(k)=P(Y=k)=c k
onde c é uma constante positiva.
b) Calcule o valor esperado de Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma variável aleatória discreta $ Y $ que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 ou 5. A função de probabilidade dela é dada por $ p_Y(k) = c \cdot k $, onde $ c $ é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado de $ Y $, que basicamente nos diz a média ponderada dos valores que $ Y $ pode assumir.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória deve ser igual a 1. Então, vamos somar todas as probabilidades:
c
Substituindo $ p_Y(k) = c \cdot k $:
sumk=1^5 pY(k) = 1

Passo 3

Agora, vamos somar os termos:
c(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1
c cdot 15 = 1

Passo 4

Para encontrar $ c $, basta dividir ambos os lados da equação por 15:
c

Passo 5

Com o valor de $ c $ determinado, podemos calcular o valor esperado $ E[Y] $. A fórmula para o valor esperado de uma variável discreta é:
c
Substituindo $ p_Y(k) = \frac{1}{15} \cdot k $:
E[Y]

Passo 6

Simplificando a expressão:
E[Y] = 115 sumk=1^5 k^2
Vamos calcular a soma dos quadrados:
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Passo 7

Substituindo na expressão do valor esperado:
E[Y] = 115 cdot 55 = 5515 = 113 approx 3,67

Resposta

O valor esperado de $ Y $ é $ \frac{11}{3} $ ou aproximadamente 3,67.

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