Seja f:[a, b] -> [a, b] uma função contínua. Mostre que f possui no mínimo um ponto fixo x_0 em [a, b] (um ponto tal que f(x0) = x0 ).

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função contínua que mapeia o intervalo nele mesmo, ou seja, . Precisamos provar que existe pelo menos um ponto em tal que . Esse ponto é chamado de ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função para facilitar a análise. Vamos chamar de a diferença entre e :
Como é contínua e é uma função linear contínua, também é contínua no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos avaliar nos extremos do intervalo:
  • Em :
Como está em , , então .
  • Em :
Como está em , , então .

Passo 4

Sabemos que e . Se , então , e é o ponto fixo que procuramos. Da mesma forma, se , então é o ponto fixo.

Passo 5

Caso contrário, temos que e . Como é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe algum em tal que . Isso significa que:
Portanto, é um ponto fixo dentro do intervalo.

Resposta

Existe pelo menos um ponto em tal que .

Exercícios relacionados

Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (x + y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
f(x) = { x se x < 1, 1/x se x > 1 } em x = 1
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=c5 x y^2-3 x^2 y2 x^2+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=cccx y-2 xx^2+y^2+2 x-4 y+5, & se & (x, y) neq(-1,2) 0, & se & (x, y)=(-1,2)