Seja
uma função contínua. Mostre que
possui no mínimo um ponto fixo
em
(um ponto tal que
).
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função contínua
que mapeia o intervalo
nele mesmo, ou seja,
. Precisamos provar que existe pelo menos um ponto
em
tal que
. Esse ponto é chamado de ponto fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função para facilitar a análise. Vamos chamar de
a diferença entre
e
:
Como
é contínua e
é uma função linear contínua,
também é contínua no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar
nos extremos do intervalo:
- Em
:
Como
está em
,
, então
.
- Em
:
Como
está em
,
, então
.
Passo 4
Sabemos que
e
. Se
, então
, e
é o ponto fixo que procuramos. Da mesma forma, se
, então
é o ponto fixo.
Passo 5
Caso contrário, temos que
e
. Como
é contínua no intervalo
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe algum
em
tal que
. Isso significa que:
Portanto,
é um ponto fixo dentro do intervalo.
Resposta
Existe pelo menos um ponto
em
tal que
.
Exercícios relacionados
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
em
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.