Em cada item verifique se a função é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . A matéria que a gente vai usar é sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos analisar o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas formas:
Para qualquer , temos:
No ponto , .
Passo 3
Para verificar a continuidade em , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Se esse limite for igual a , então é contínua em .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos envolvendo e . Para facilitar, vamos dividir cada termo por e tentar encontrar uma cota para o limite.
Passo 5
Vamos usar desigualdades para estimar o limite. Note que:
E o denominador é sempre positivo:
Então, temos:
Isso nos ajuda a ver como a função se comporta perto de .
Passo 6
Para que o limite seja , precisamos que ambos os termos e tendam a quando . Isso ocorre se tende a mais rápido que e , respectivamente.
Passo 7
Vamos escolher um caminho específico para limx to 0 5x(x^k)^2 - 3x^2x^k2x^2 + (x^k)^4 = limx to 0 5x^1+2k - 3x^2+k2x^2 + x^4k se aproximar de , por exemplo, onde . Substituindo:
Para que o limite seja , o numerador deve ser de ordem maior que o denominador quando .
Passo 8
Analisando os termos, percebemos que para , todos os termos no numerador e denominador vão para , e o limite será . Isso indica que, independentemente do caminho escolhido, o limite tende a .
Passo 9
Como o limite da função quando é igual a , que é o valor de , podemos concluir que a função é contínua no ponto .