Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=c5 x y^2-3 x^2 y2 x^2+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . A matéria que a gente vai usar é sobre continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos analisar o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y) = 5xy^2 - 3x^2y2x^2 + y^4 . Ela é definida de duas formas:
  • Para qualquer , temos:
  • No ponto , .

Passo 3

Para verificar a continuidade em lim(x, y) to (0, 0) 5xy^2 - 3x^2y2x^2 + y^4 , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de :
Se esse limite for igual a , então é contínua em .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm termos envolvendo e . Para facilitar, vamos dividir cada termo por e tentar encontrar uma cota para o limite.

Passo 5

Vamos usar desigualdades para estimar o limite. Note que:
|5xy^2 - 3x^2y| <= 5|x||y|^2 + 3|x|^2|y|
E o denominador é sempre positivo:
2x^2 + y^4 >= y^4
Então, temos:
| 5xy^2 - 3x^2y2x^2 + y^4 | <= 5|x||y|^2 + 3|x|^2|y|y^4 = 5|x| cdot |y|^2y^4 + 3|x|^2 cdot |y|y^4 = 5|x| cdot 1|y|^2 + 3|x|^2 cdot 1|y|^3
Isso nos ajuda a ver como a função se comporta perto de .

Passo 6

Para que o limite seja , precisamos que ambos os termos e tendam a quando . Isso ocorre se tende a mais rápido que e , respectivamente.

Passo 7

Vamos escolher um caminho específico para limx to 0 5x(x^k)^2 - 3x^2x^k2x^2 + (x^k)^4 = limx to 0 5x^1+2k - 3x^2+k2x^2 + x^4k se aproximar de , por exemplo, onde . Substituindo:
Para que o limite seja , o numerador deve ser de ordem maior que o denominador quando .

Passo 8

Analisando os termos, percebemos que para , todos os termos no numerador e denominador vão para , e o limite será . Isso indica que, independentemente do caminho escolhido, o limite tende a .

Passo 9

Como o limite da função quando é igual a , que é o valor de , podemos concluir que a função é contínua no ponto .

Resposta

A função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Seja f:[a, b] -> [a, b] uma função contínua. Mostre que f possui no mínimo um ponto fixo x_0 em [a, b] (um ponto tal que f(x0) = x0 ).
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (x + y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=cccx y-2 xx^2+y^2+2 x-4 y+5, & se & (x, y) neq(-1,2) 0, & se & (x, y)=(-1,2)
Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito na esfera de raio 6. Ache também as dimensões do de maior volume.