Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (x + y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você me enviou. A gente tem uma função definida da seguinte forma:
O objetivo é verificar se essa função é contínua. Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade em funções de duas variáveis e verificar se a função não apresenta “saltos” ou “interrupções” no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de duas variáveis, a função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em . Então, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular esse limite. Para isso, é útil analisar o que acontece ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe e podemos compará-lo com o valor da função em . Se der resultados diferentes, o limite não existe.
Primeiro caminho: Vamos considerar .
Substituindo na função:
Então, por esse caminho, o limite é 0.
Segundo caminho: Agora, vamos considerar .
Substituindo na função:
Quando se aproxima de 0, cresce sem limites, ou seja, vai para ou , dependendo do lado por onde você se aproxima.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, obtemos resultados distintos para o limite:
  • Por , o limite é 0.
  • Por , o limite não existe (vai para o infinito).
Como os limites são diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua em .

Exercícios relacionados

Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
f(x) = { x se x < 1, 1/x se x > 1 } em x = 1
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y, z)=c(x+y+z+1)^2(x-1)^2+y^4+(z+2)^2, se (x, y, z) neq(1,0,-2) 1, se (x, y, z)=(1,0,-2)
Seja f:[a, b] -> [a, b] uma função contínua. Mostre que f possui no mínimo um ponto fixo x_0 em [a, b] (um ponto tal que f(x0) = x0 ).
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=c5 x y^2-3 x^2 y2 x^2+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)