Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você me enviou. A gente tem uma função
definida da seguinte forma:
O objetivo é verificar se essa função é contínua. Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade em funções de duas variáveis e verificar se a função não apresenta “saltos” ou “interrupções” no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. No caso de duas variáveis, a função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em
. Então, precisamos calcular:
Passo 3
Vamos calcular esse limite. Para isso, é útil analisar o que acontece ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe e podemos compará-lo com o valor da função em
. Se der resultados diferentes, o limite não existe.
Primeiro caminho: Vamos considerar
.
Substituindo na função:
Então, por esse caminho, o limite é 0.
Segundo caminho: Agora, vamos considerar
.
Substituindo na função:
Quando
se aproxima de 0,
cresce sem limites, ou seja, vai para
ou
, dependendo do lado por onde você se aproxima.
Passo 4
Observamos que ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, obtemos resultados distintos para o limite:
- Por
, o limite é 0. - Por
, o limite não existe (vai para o infinito).
Como os limites são diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função
não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
em
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Seja
uma função contínua. Mostre que
possui no mínimo um ponto fixo
em
(um ponto tal que
).
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.