Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a restrição de que
. Para isso, vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica que ajuda a otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Basicamente, a gente cria uma nova função chamada de Lagranjana, que combina a função que queremos otimizar (
) e a restrição (
). A fórmula é:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos montar a Lagranjana para o nosso problema:
Agora, para encontrar os pontos extremos, precisamos calcular as derivadas parciais da Lagranjana em relação a
,
e
e igualá-las a zero.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos igualar as duas expressões para
:
Então, descobrimos que
é o negativo de
.
Passo 6
Vamos substituir
na restrição
:
Passo 7
Encontrando
para cada valor de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 8
Vamos calcular
em cada ponto para encontrar os valores extremos:
- Ponto (2, -2):
- Ponto (-2, 2):
Resposta
O valor máximo de
é 7, que ocorre no ponto
. O valor mínimo de
é -9, que ocorre no ponto
.