Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
f(x, y) = x - 3y - 1 ; x^2 + 3y^2 = 16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função sob a restrição de que . Para isso, vamos usar multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica que ajuda a otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Basicamente, a gente cria uma nova função chamada de Lagranjana, que combina a função que queremos otimizar ( ) e a restrição ( ). A fórmula é:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos montar a Lagranjana para o nosso problema:
Agora, para encontrar os pontos extremos, precisamos calcular as derivadas parciais da Lagranjana em relação a , e e igualá-las a zero.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões para :
Então, descobrimos que é o negativo de .

Passo 6

Vamos substituir na restrição :

Passo 7

Encontrando para cada valor de :
  1. Se , então .
  2. Se , então .

Passo 8

Vamos calcular em cada ponto para encontrar os valores extremos:
  1. Ponto (2, -2):
  1. Ponto (-2, 2):

Resposta

O valor máximo de é 7, que ocorre no ponto . O valor mínimo de é -9, que ocorre no ponto .

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