Seja a função definida por .
(a) Determine os valores de a e de b, tais que f seja contínua para todo x.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de . O nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e para que a função seja contínua em todo lugar. Continuidade significa que não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde a função pode ter problemas de continuidade. Olhando para a definição da função, vemos que ela muda de expressão em e . Então, esses são os pontos que vamos focar para garantir que a função seja contínua.
Passo 3
Para que a função seja contínua nesses pontos, o valor da função à esquerda e à direita desses pontos precisa ser o mesmo. Ou seja:
Em :
A expressão para é .
A expressão para é .
Portanto, devemos ter:
Que resulta em:
çã
Em :
A expressão para é .
A expressão para é .
Assim, devemos ter:
Que dá:
çã
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações para resolver:
çãçã
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em todo são e .