a. x^2 + 4xy + y^2 = 13, P(2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação e um ponto . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva definida por essa equação no ponto P. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente mesmo quando a equação da curva não está resolvida para y.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto está realmente na curva. Para isso, substituímos e na equação da curva:
Como o resultado é igual a 13, o ponto P está na curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando a derivada implícita. Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Agrupando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 5

Vamos calcular a inclinação da tangente no ponto P(2,1):
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com inclinação m:
Substituindo , e :

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:
Distribuindo:
Levando todos os termos para um lado:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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  1. Seja f a função definida por f(x) = { x + 5, se x <= -2; a x + b, se -2 < x < 4; -3, se x >= 4 }.
    (a) Determine os valores de a e de b, tais que f seja contínua para todo x.
$n=3$.
$[0,2],(0,2),[1,3],[2,3]$.
[0,5].