a.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e um ponto
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta tangente à curva definida por essa equação no ponto P. Para isso, vamos usar o conceito de derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente mesmo quando a equação da curva não está resolvida para y.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto
está realmente na curva. Para isso, substituímos
e
na equação da curva:
Como o resultado é igual a 13, o ponto P está na curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
usando a derivada implícita. Diferenciamos ambos os lados da equação
em relação a x:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 5
Vamos calcular a inclinação da tangente no ponto P(2,1):
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto
com inclinação m:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:
Distribuindo:
Levando todos os termos para um lado:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
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- Seja
a função definida por .
(a) Determine os valores de e dea , tais queb seja contínua para todof .x
$n=3$.
$[0,2],(0,2),[1,3],[2,3]$.