Seja f uma função definida em R tal que, para todo x ≠ 1, -x²+3x ≤ f(x) ≤ x²- 1/x-1. Calcule lim x→1 f(x) e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1. A função $ f(x) $ está “presa” entre duas outras funções: $ -x^2 + 3x $ e $ x^2 - \frac{1}{x-1} $. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), que ajuda a encontrar limites quando temos uma função entre duas outras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com as funções que estão “senhorando” $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1.
  1. Função Inferior: $ -x^2 + 3x $
    Vamos calcular o limite dessa função quando $ x $ se aproxima de 1:
    f(x)
  2. Função Superior: $ x^2 - \frac{1}{x-1} $
    Agora, vamos ver o que acontece com essa função. O termo $ \frac{1}{x-1} $ é problemático porque quando $ x $ se aproxima de 1, o denominador fica muito perto de zero, o que faz a fração crescer sem limites (tende ao infinito).
    • Quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita ($ x \to 1^+ $):
      Portanto:
      x
    • Quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- $):
      Portanto:
      -x^2 + 3x

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema do Sandwich:
  • Pela direita ($ x \to 1^+ $):
    x to 1^+
    -x^2 + 3x <= f(x) <= x^2 - 1x-1
    Isso é uma contradição, porque não dá para ter $ 2 \leq f(x) \leq -\infty $. Logo, o limite pela direita não existe.
  • Pela esquerda ($ x \to 1^- $):
    2 <= f(x) <= -infty
    2 <= f(x) <= -infty
    Aqui, $ f(x) $ está entre 2 e mais infinito, o que sugere que $ f(x) $ pode tender a $ +\infty $.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes (pela direita o limite não existe e pela esquerda tende a $ +\infty $), o limite geral de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 não existe.

Resposta

O limite $ \lim_{x \to 1} f(x) $ não existe.

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