Seja f: A R, onde A subseteq R^2 é um conjunto aberto. Definimos (quando os limites existirem) a derivada parcial de f no ponto (a, b) in A, em relação a x (respec. a y ), por
fx(a, b)=partial fpartial x(a, b):=lim h 0 f(a+h, b)-f(a, b)h fy(a, b)=partial fpartial y(a, b):=lim h 0 f(a, b+h)-f(a, b)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre derivadas parciais de uma função , onde é um conjunto aberto dentro de . Basicamente, a gente quer entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, e , num ponto específico . Para isso, a gente vai usar o conceito de limite para definir essas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como . A derivada parcial em relação a ( ) nos mostra como muda quando a gente varia só o , mantendo o constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a ( ) mostra como muda quando a gente varia só o , mantendo o constante.

Passo 3

Agora, vamos olhar as fórmulas dadas no enunciado:
fx(a, b) = partial fpartial x(a, b) := limh 0 f(a+h, b) - f(a, b)h
fy(a, b) = partial fpartial y(a, b) := limh 0 f(a, b+h) - f(a, b)h
Essas fórmulas estão definindo exatamente o que falamos: como muda em relação a e respectivamente. O é um pequeno incremento que a gente adiciona à variável que está variando.

Passo 4

Vamos entender cada parte da fórmula. Pegando a derivada parcial em relação a fx(a, b) = limh 0 f(a+h, b) - f(a, b)h :
Aqui, a gente está olhando a mudança em quando muda de para , enquanto fica fixo em . A expressão dentro do limite calcula a taxa de variação média de nessa direção, e o limite quando tende a zero nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a derivada parcial.

Passo 5

O mesmo vale para a derivada parcial em relação a fy(a, b) = limh 0 f(a, b+h) - f(a, b)h :
Nesta, a gente varia de para , mantendo fixo em . A interpretação é a mesma: estamos vendo como muda instantaneamente quando só varia.

Resposta

Então, resumindo, as derivadas parciais e são definidas como os limites das taxas de variação de em relação a e respectivamente, mantendo a outra variável constante. Essas definições nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção no ponto .

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