Seja
, onde
é um conjunto aberto. Definimos (quando os limites existirem) a derivada parcial de
no ponto
, em relação a
(respec. a
), por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre derivadas parciais de uma função
, onde
é um conjunto aberto dentro de
. Basicamente, a gente quer entender como a função
muda em relação a cada uma das variáveis,
e
, num ponto específico
. Para isso, a gente vai usar o conceito de limite para definir essas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma função que depende de duas variáveis, como
. A derivada parcial em relação a
(
) nos mostra como
muda quando a gente varia só o
, mantendo o
constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
(
) mostra como
muda quando a gente varia só o
, mantendo o
constante.
Passo 3
Agora, vamos olhar as fórmulas dadas no enunciado:
Essas fórmulas estão definindo exatamente o que falamos: como
muda em relação a
e
respectivamente. O
é um pequeno incremento que a gente adiciona à variável que está variando.
Passo 4
Vamos entender cada parte da fórmula. Pegando a derivada parcial em relação a
:
Aqui, a gente está olhando a mudança em
quando
muda de
para
, enquanto
fica fixo em
. A expressão dentro do limite calcula a taxa de variação média de
nessa direção, e o limite quando
tende a zero nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a derivada parcial.
Passo 5
O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
:
Nesta, a gente varia
de
para
, mantendo
fixo em
. A interpretação é a mesma: estamos vendo como
muda instantaneamente quando só
varia.
Resposta
Então, resumindo, as derivadas parciais
e
são definidas como os limites das taxas de variação de
em relação a
e
respectivamente, mantendo a outra variável constante. Essas definições nos ajudam a entender como a função se comporta em cada direção no ponto
.