determine o ponto crítico da funçāo abaixo e classifique-o em ponto de máximo, minimo ou sela
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
. A tarefa é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se eles são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 4
Vamos simplificar as equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Agora, temos:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A Matriz Hessiana
é:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo (
), isso indica que o ponto crítico
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela.