determine o ponto crítico da funçāo abaixo e classifique-o em ponto de máximo, minimo ou sela 3,5
f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, . A tarefa é encontrar os pontos críticos dessa função e dizer se eles são pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Vamos simplificar as equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Agora, temos:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar em função de :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a Matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A Matriz Hessiana é:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo ( ), isso indica que o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

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