Mostre que a função definida abaixo possui derivadas parciais em
mas não é contínua neste ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O que queremos mostrar é que essa função tem derivadas parciais no ponto (0,0), mas não é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar as derivadas parciais em (0,0). As derivadas parciais são como as inclinações da função ao longo dos eixos x e y. Para calcular a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0), usamos a definição:
Vamos calcular isso.
Passo 3
Calculando
:
Quando y=0, a função fica:
Então,
Portanto, a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0) é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0). Usamos a definição:
Vamos calcular isso.
Passo 5
Calculando
:
Quando x=0, a função fica:
Então,
Portanto, a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0) também é 0.
Passo 6
Agora que vimos que as derivadas parciais em (0,0) existem e são iguais a zero, vamos verificar a continuidade da função nesse ponto. Para a função ser contínua em (0,0), o limite de
quando
deve ser igual a
, que é 0.
Vamos calcular esse limite.
Passo 7
Vamos calcular o limite de
quando
. Usando coordenadas polares, onde
e
, temos:
Então, o limite depende de
:
Passo 8
O problema aqui é que o limite depende do ângulo
. Por exemplo:
- Se
, - Se
,
Como o limite muda dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em (0,0), o limite geral não existe.
Resposta
A função
possui derivadas parciais em (0,0), ambas iguais a 0, mas não é contínua nesse ponto porque o limite quando
depende da direção, ou seja, não existe um limite único.