Mostre que a função definida abaixo possui derivadas parciais em (0,0) mas não é contínua neste ponto.
f(x, y) = { xy / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O que queremos mostrar é que essa função tem derivadas parciais no ponto (0,0), mas não é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar conhecer um pouquinho sobre derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar as derivadas parciais em (0,0). As derivadas parciais são como as inclinações da função ao longo dos eixos x e y. Para calcular a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0), usamos a definição:
Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando :
Quando y=0, a função fica:
Então,
Portanto, a derivada parcial em relação a x no ponto (0,0) é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0). Usamos a definição:
Vamos calcular isso.

Passo 5

Calculando :
Quando x=0, a função fica:
Então,
Portanto, a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0) também é 0.

Passo 6

Agora que vimos que as derivadas parciais em (0,0) existem e são iguais a zero, vamos verificar a continuidade da função nesse ponto. Para a função ser contínua em (0,0), o limite de quando deve ser igual a f(0, 0), que é 0.
Vamos calcular esse limite.

Passo 7

Vamos calcular o limite de quando . Usando coordenadas polares, onde e , temos:
Então, o limite depende de theta:

Passo 8

O problema aqui é que o limite depende do ângulo theta. Por exemplo:
  • Se ,
  • Se ,
Como o limite muda dependendo do caminho que a gente escolhe para chegar em (0,0), o limite geral não existe.

Resposta

A função possui derivadas parciais em (0,0), ambas iguais a 0, mas não é contínua nesse ponto porque o limite quando depende da direção, ou seja, não existe um limite único.

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