Seja f(x) = e^x * x. Determine, se houver, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir se o gráfico dessa função tem assíntotas horizontais ou verticais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função quando vai pro infinito positivo e negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar por assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal existe se o limite da função quando tende a ou for um número finito.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a :
Sabemos que cresce muito rápido, bem mais rápido que o polinômio . Então, esse limite vai para . Isso significa que não há assíntota horizontal nesse sentido.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a :
Quando tende a , tende a 0 e tende a . No entanto, o decresce para 0 mais rápido que tende a , então o limite dessa expressão é 0. Isso indica que há uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Por fim, vamos verificar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero em funções racionais. No caso da nossa função , ela está definida para todos os valores de reais, já que nunca é zero e a multiplicação por também não causa problemas.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais.

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