Seja f(x) = e^x * x. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de f.

Passo 1

Então, temos a função . O objetivo aqui é estudar a concavidade dessa função e encontrar, se existirem, os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função, já que a concavidade está relacionada com a segunda derivada, e os pontos de inflexão são determinados onde a concavidade muda de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é o produto de e , então vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de é .
Aqui, e . A derivada de é e a derivada de é 1.
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade. Vamos derivar novamente usando a regra do produto.
Aqui, e . A derivada de é e a derivada de é 1.
Então:

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, , podemos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar onde :
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então a equação só será verdadeira quando , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos definidos por para determinar a concavidade em cada intervalo:
  1. Para :
    • Escolha .
    • .
    • Portanto, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  2. Para :
    • Escolha .
    • .
    • Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o ponto de inflexão. O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Encontramos que isso acontece em .
Para confirmar, calculamos :
Então, o ponto de inflexão é .

Resposta

A função é côncava para baixo quando e côncava para cima quando . Existe um ponto de inflexão em , que é o ponto .

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Seja f(x) = e^x * x. Determine, se houver, os pontos de máximo e mínimo locais de f.
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