Seja
. Determine, se houver, os pontos de máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos de máximo e mínimo locais da função
. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função
, que nos ajuda a identificar onde a função tem inclinação positiva ou negativa. A derivada primeira é dada por:
Usando a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, temos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos locais), igualamos a derivada primeira a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, a única solução vem de:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo local. Para isso, vamos utilizar a derivada segunda de
:
Aplicando novamente a regra do produto:
Agora, avaliamos a derivada segunda em
:
Como
, isso indica que a curva é côncava para cima nesse ponto, o que significa que
é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo local em
. Não há pontos de máximo local.
Exercícios relacionados
Seja
. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de
.
Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão retangular medindo 10 cm por 16 cm . Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão.
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida , em centímetros, de cada um dos lados dos quadrados que são retirados da folha de papelão, para que o volume
da caixa seja o maior possível?
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida
Seja
. Determine, se houver, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de
.
Determine conde