Seja f(x) = x 0 <= x <= 2.
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo de . O que precisamos fazer é desenvolver essa função em uma série de Fourier apenas com co-cossenos (isso é chamado de série de Fourier par), e depois desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente a parte que trata das funções pares e como calcular os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando queremos expandir uma função em série de Fourier usando apenas co-cossenos, estamos assumindo que a função é par. Isso significa que a função se repete de forma simétrica em relação ao eixo y. No nosso caso, como a função é definida apenas de 0 a 2, vamos estender ela para todo o intervalo de forma que fique par. Então, para , temos .

Passo 3

A série de Fourier para uma função par no intervalo (no nosso caso, ) é dada por:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes e . Vamos calcular esses coeficientes usando as fórmulas de Fourier para funções pares.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Como nossa função é par, podemos simplificar a integral para:
Substituindo e :
Calculando a integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Mais uma vez, usando a paridade da função:
Substituindo e :

Passo 6

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes. Sabemos que:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Calculando a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Calculando nos limites:
Para :
E para :
Então, a diferença é:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Então, o coeficiente fica:
Podemos simplificar isso observando que para par, , então . E para ímpar, , então:

Passo 8

Agora, juntando tudo, a série de Fourier de co-cossenos para no intervalo é:
Substituindo e para ímpar:

Passo 9

Por fim, para desenhar o gráfico da extensão periódica de com período 4, imaginamos a função definida de 0 a 2, extendida de forma par para todo , e então repetida a cada intervalo de 4 unidades. Isso significa que o gráfico será uma série de “V” simétricos, onde cada “V” tem altura máxima em e , e repete esse padrão a cada intervalo de 4 unidades.

Resposta

A série de Fourier de co-cossenos para no intervalo é:
E o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4 é uma sequência de “V” simétricos repetidos a cada intervalo de 4 unidades ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
j) lim x 0 sen 5 x4 x
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = { 0, -pi <= x <= 0 ; x, 0 <= x <= pi } T =
2 pi
a. Mostre que gx x+gy y=hx x+hy y=0.
b. Mostre que partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y))+partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y))=0.
Determine as assíntotas horizontais e verticais da função dada por
f(x)=(x^2+1)/(3x-2x^2).