Seja
.
Desenvolva
em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo de
. O que precisamos fazer é desenvolver essa função em uma série de Fourier apenas com co-cossenos (isso é chamado de série de Fourier par), e depois desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier, especialmente a parte que trata das funções pares e como calcular os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando queremos expandir uma função em série de Fourier usando apenas co-cossenos, estamos assumindo que a função é par. Isso significa que a função se repete de forma simétrica em relação ao eixo y. No nosso caso, como a função
é definida apenas de 0 a 2, vamos estender ela para todo o intervalo
de forma que fique par. Então, para
, temos
.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par no intervalo
(no nosso caso,
) é dada por:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes
e
. Vamos calcular esses coeficientes usando as fórmulas de Fourier para funções pares.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Como nossa função é par, podemos simplificar a integral para:
Substituindo
e
:
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Mais uma vez, usando a paridade da função:
Substituindo
e
:
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes. Sabemos que:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Calculando a segunda integral:
Então, substituindo de volta:
Agora, avaliamos de 0 a 2:
Calculando nos limites:
Para
:
E para
:
Então, a diferença é:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Então, o coeficiente
fica:
Podemos simplificar isso observando que para
par,
, então
. E para
ímpar,
, então:
Passo 8
Agora, juntando tudo, a série de Fourier de co-cossenos para
no intervalo
é:
Substituindo
e
para
ímpar:
Passo 9
Por fim, para desenhar o gráfico da extensão periódica de
com período 4, imaginamos a função
definida de 0 a 2, extendida de forma par para todo
, e então repetida a cada intervalo de 4 unidades. Isso significa que o gráfico será uma série de “V” simétricos, onde cada “V” tem altura máxima em
e
, e repete esse padrão a cada intervalo de 4 unidades.
Resposta
A série de Fourier de co-cossenos para
no intervalo
é:
E o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4 é uma sequência de “V” simétricos repetidos a cada intervalo de 4 unidades ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
j)
j)
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
a. Mostre que
.
b. Mostre que .
b. Mostre que
Determine as assíntotas horizontais e verticais da função dada por
.