a. Mostre que gx x+gy y=hx x+hy y=0.
b. Mostre que partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y))+partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y))=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a. Mostrar que e .
b. Mostrar que .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas parciais, equações diferenciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a. Queremos provar que:
gxx + gyy = 0 e hxx + hyy = 0
Isso significa que tanto quanto satisfazem a equação de Laplace, que é uma equação diferencial importante em diversas áreas da matemática e física.

Passo 3

A equação de Laplace para uma função partial^2 phipartial x^2 + partial^2 phipartial y^2 = 0 é dada por:
Então, para e , precisamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a e e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 4

Assumindo que gxx + gyy = 0 e hxx + hyy = 0 são funções duas vezes diferenciáveis, calculamos:
Assim, mostramos que ambas as funções e satisfazem a equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b. Precisamos mostrar que:
partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y)) + partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y)) = 0
Aqui, é uma função composta com e , ou seja, . Para calcular as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 6

Usando a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas, temos:
partial fpartial x = partial fpartial u cdot partial gpartial x + partial fpartial v cdot partial hpartial x
partial fpartial y = partial fpartial u cdot partial gpartial y + partial fpartial v cdot partial hpartial y
onde e .

Passo 7

Calculando as segundas derivadas, aplicamos novamente a regra da cadeia:
partial^2 fpartial x^2 = partial^2 fpartial u^2 (partial gpartial x)^2 + 2 partial^2 fpartial u partial v partial gpartial x partial hpartial x + partial^2 fpartial v^2 (partial hpartial x)^2 + partial fpartial u cdot partial^2 gpartial x^2 + partial fpartial v cdot partial^2 hpartial x^2
E de forma semelhante para .

Passo 8

Somando as duas expressões:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = ( partial^2 fpartial u^2 (partial gpartial x)^2 + partial^2 fpartial u^2 (partial gpartial y)^2 ) + outros termos + partial fpartial u (gxx + gyy) + partial fpartial v (hxx + hyy)
Como e pela parte a, todos os termos restantes somam zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial^2 fpartial x^2(g(x, y), h(x, y)) + partial^2 fpartial y^2(g(x, y), h(x, y)) = 0

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