a. Mostre que
.
b. Mostre que
.
b. Mostre que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes:
a. Mostrar que
e
.
b. Mostrar que
.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas parciais, equações diferenciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a. Queremos provar que:
Isso significa que tanto
quanto
satisfazem a equação de Laplace, que é uma equação diferencial importante em diversas áreas da matemática e física.
Passo 3
A equação de Laplace para uma função
é dada por:
Então, para
e
, precisamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a
e
e verificar se a soma delas é igual a zero.
Passo 4
Assumindo que
e
são funções duas vezes diferenciáveis, calculamos:
Assim, mostramos que ambas as funções
e
satisfazem a equação de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b. Precisamos mostrar que:
Aqui,
é uma função composta com
e
, ou seja,
. Para calcular as derivadas parciais, vamos usar a regra da cadeia.
Passo 6
Usando a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas, temos:
onde
e
.
Passo 7
Calculando as segundas derivadas, aplicamos novamente a regra da cadeia:
E de forma semelhante para
.
Passo 8
Somando as duas expressões:
Como
e
pela parte a, todos os termos restantes somam zero.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Seja
.
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
j)
j)
Determine as assíntotas horizontais e verticais da função dada por
.
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva