Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando
se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo limites trigonométricos. Para resolver, vamos usar uma regra importante sobre limites envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma fórmula muito útil em cálculo:
Essa é uma das bases para calcular limites que envolvem funções seno quando o ângulo está próximo de zero.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é transformar o limite dado de forma que a parte dentro do seno se pareça com o formato da fórmula que acabamos de lembrar. Para isso, vamos reescrever o limite:
Aqui, a gente multiplicou e dividiu por 5 dentro da expressão para ajustar o denominador.
Passo 4
Agora, vamos separar o limite em duas partes usando a propriedade dos limites que diz que o limite do produto é o produto dos limites (se existirem):
Passo 5
Observamos que tem a mesma estrutura da fórmula que lembramos no Passo 2. Assim, aplicando essa regra:
Passo 6
Substituindo esse resultado na expressão que montamos no Passo 4, temos:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
h)
h)
Seja
.
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
a. Mostre que
.
b. Mostre que .
b. Mostre que