Seja F(x, y) um campo vetorial com componentes contínuas e diferenciáveis em um aberto U. Sobre campos conservativos, assinale as afirmativas a seguir como verdadeira (V) ou falsa (F):
I) Se F(x, y) é um campo vetorial conservativo, então a integral de linha independe do caminho. I
I) Se F(x, y) é um campo vetorial conservativo, então F(x, y) é o campo gradiente de alguma função f no aberto U. II
I) Se F(x, y) é um campo vetorial conservativo, então rot(F) = 0. Agora analise a alternativa correta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campos vetoriais conservativos. O que a gente precisa fazer é analisar três afirmações para ver se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha, campo gradiente e rotação de um campo vetorial.

Passo 2

Afirmação I: Se F(x, y) é um campo vetorial conservativo, então a integral de linha independe do caminho.
Primeiro, um campo vetorial conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Uma das propriedades importantes desses campos é que a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho escolhido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Então, para verificar se a afirmação é verdadeira, lembramos dessa propriedade básica dos campos conservativos.
Conclusão: Verdadeira (V).

Passo 3

Afirmação II: Se F(x, y) é um campo vetorial conservativo, então F(x, y) é o campo gradiente de alguma função f no aberto U.
Essa afirmação está diretamente ligada à definição de campo conservativo. Por definição, um campo vetorial F é conservativo se existe uma função escalar f tal que F = ∇f, ou seja, F é o gradiente de f.
Portanto, essa afirmação está alinhada com a definição de campo conservativo.
Conclusão: Verdadeira (V).

Passo 4

Afirmação III: Se F(x, y) é um campo vetorial conservativo, então rot(F) = 0.
A rotacional (ou rotação) de um campo vetorial F, denotado por rot(F), mede a tendência do campo a “girar” em torno de um ponto. Para campos conservativos em um domínio aberto e simplesmente conexo, a condição necessária é que o rotacional seja zero.
Isso significa que se F é conservativo, então rot(F) deve ser igual a zero.
Conclusão: Verdadeira (V).

Resposta

Todas as três afirmações são verdadeiras (V). Portanto, a alternativa correta é aquela que marca I) V, II) V e III) V.

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