Seja
f(x, y) = sen(x y) / (x y) se x y ≠ 0; 1 se x y = 0
(a) Mostre que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) por qualquer caminho da forma y = m x^a passando por (0,0) com a < 4.
(b) Independentemente do item (a), mostre que f é descontínua em(0,0).
© Mostre que f é descontínua em duas curvas inteiras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada a limites de funções de duas variáveis e continuidade de funções no ponto . Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de funções multivariáveis seguindo diferentes caminhos e como verificar a continuidade nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos investigar o comportamento dessa função quando se aproxima de por caminhos específicos.

Passo 3

No item (a), precisamos mostrar que quando por qualquer caminho da forma com .
Primeiro, substituímos por na função:

Passo 4

Lembramos que . Então, quando :
Mas queremos o limite de que foi multiplicado por . Parece que houve uma confusão. Vamos refazer:
Na verdade, temos:
Mas precisamos considerar que .
Então, o limite de quando é 1.

Passo 5

No entanto, o exercício pede para mostrar que para . Parece que há uma necessidade de revisar o cálculo.
Vamos considerar o comportamento de para pequeno:
Sabemos que quando é pequeno, então:
Isso sugere que o limite é 1, não 0. Parece que há um erro no enunciado ou na interpretação. Vamos verificar novamente.

Passo 6

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos reconsiderar o caminho :
Substituindo na função:
Sabemos que quando . Então, para , , e assim:
Portanto, o limite é 1, não 0, independentemente do valor de . Parece que houve um mal-entendido no enunciado. Vamos então passar para o item (b).

Passo 7

No item (b), precisamos mostrar que é descontínua em .
Para isso, precisamos verificar se o limite de quando existe e é igual a .
Consideremos dois caminhos diferentes:
  1. Caminho 1:
    Aqui, para qualquer .
  2. Caminho 2:
    Substituindo, temos:
    Sabemos que quando , então:
Então, ambos os caminhos dão limite 1, igual a , indicando continuidade. Porém, para mostrar a descontinuidade, precisamos encontrar um caminho onde o limite seja diferente.
Vamos tentar outro caminho:
Caminho 3:
Substituindo:
Novamente, quando , portanto:
Parece que estamos sempre obtendo o limite 1. Vamos tentar um caminho onde tende a zero de uma forma diferente.

Passo 8

Vamos considerar o caminho onde (exceto quando ):
Substituindo:
Aqui, é uma constante aproximadamente igual a 0,8415, e não depende de .
Portanto, o limite ao longo desse caminho é , diferente de 1. Isso mostra que o limite de quando depende do caminho seguido, logo, o limite geral não existe e a função é descontínua em .

Passo 9

No item ©, precisamos mostrar que é descontínua em duas curvas inteiras.
Já vimos que ao seguir diferentes caminhos, obtemos limites diferentes. Podemos generalizar isso para curvas específicas.
Por exemplo:
  1. Curva 1: , onde é uma constante.
    Substituindo:
  2. Curva 2:
    Substituindo:
Essas duas curvas mostram que os limites são diferentes, confirmando a descontinuidade da função ao longo delas.

Resposta

A função é descontínua em e também é descontínua ao longo de duas curvas inteiras, como exemplificado pelos caminhos e .

Exercícios relacionados

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Seja f a função definida por:
f(x)=ccc x^2-1 & se & x <= 0 2 x & se & 0= 2
f é contínua em x=0 ? Justifique!