Seja
(a) Mostre que
quando
por qualquer caminho da forma
passando por
.
(b) Independentemente do item (a), mostre que
é descontínua
.
© Mostre que
é descontínua em duas curvas inteiras.
(b) Independentemente do item (a), mostre que
© Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está relacionada a limites de funções de duas variáveis e continuidade de funções no ponto
. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites de funções multivariáveis seguindo diferentes caminhos e como verificar a continuidade nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos investigar o comportamento dessa função quando
se aproxima de
por caminhos específicos.
Passo 3
No item (a), precisamos mostrar que
quando
por qualquer caminho da forma
com
.
Primeiro, substituímos
por
na função:
Passo 4
Lembramos que
. Então, quando
:
Mas queremos o limite de
que foi multiplicado por
. Parece que houve uma confusão. Vamos refazer:
Na verdade, temos:
Mas precisamos considerar que
.
Então, o limite de
quando
é 1.
Passo 5
No entanto, o exercício pede para mostrar que
para
. Parece que há uma necessidade de revisar o cálculo.
Vamos considerar o comportamento de
para
pequeno:
Sabemos que
quando
é pequeno, então:
Isso sugere que o limite é 1, não 0. Parece que há um erro no enunciado ou na interpretação. Vamos verificar novamente.
Passo 6
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos reconsiderar o caminho
:
Substituindo na função:
Sabemos que
quando
. Então, para
,
, e assim:
Portanto, o limite é 1, não 0, independentemente do valor de
. Parece que houve um mal-entendido no enunciado. Vamos então passar para o item (b).
Passo 7
No item (b), precisamos mostrar que
é descontínua em
.
Para isso, precisamos verificar se o limite de
quando
existe e é igual a
.
Consideremos dois caminhos diferentes:
-
Caminho 1:Aqui,
para qualquer . -
Caminho 2:Substituindo, temos:Sabemos que
quando , então:
Então, ambos os caminhos dão limite 1, igual a
, indicando continuidade. Porém, para mostrar a descontinuidade, precisamos encontrar um caminho onde o limite seja diferente.
Vamos tentar outro caminho:
Caminho 3:
Substituindo:
Novamente,
quando
, portanto:
Parece que estamos sempre obtendo o limite 1. Vamos tentar um caminho onde
tende a zero de uma forma diferente.
Passo 8
Vamos considerar o caminho onde
(exceto quando
):
Substituindo:
Aqui,
é uma constante aproximadamente igual a 0,8415, e não depende de
.
Portanto, o limite ao longo desse caminho é
, diferente de 1. Isso mostra que o limite de
quando
depende do caminho seguido, logo, o limite geral não existe e a função é descontínua em
.
Passo 9
No item ©, precisamos mostrar que
é descontínua em duas curvas inteiras.
Já vimos que ao seguir diferentes caminhos, obtemos limites diferentes. Podemos generalizar isso para curvas específicas.
Por exemplo:
-
Curva 1:
, onde é uma constante. Substituindo: -
Curva 2:Substituindo:
Essas duas curvas mostram que os limites são diferentes, confirmando a descontinuidade da função
ao longo delas.
Resposta
A função
é descontínua em
e também é descontínua ao longo de duas curvas inteiras, como exemplificado pelos caminhos
e
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
para qualquer
. Determine
.
Expanda as expressões.
.
Expanda as expressões.
.
Seja
a função definida por: