Seja . No ponto , na direção de qual vetor
(b) diminui mais rapidamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar, no ponto , a direção na qual a função diminui mais rapidamente. Isso está relacionado com o cálculo vetorial e, mais especificamente, com o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Para encontrar a direção de menor aumento, ou seja, onde a função diminui mais rápido, basta pegar o vetor oposto ao gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto substituindo e nas derivadas:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

A direção de maior aumento é o próprio gradiente . Para encontrar a direção de maior diminuição, simplesmente pegamos o vetor oposto:
çãçã

Passo 7

Normalizamos esse vetor para obter uma direção unitária, pois geralmente queremos a direção independente da magnitude. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua norma:
Então, a direção unitária é:

Resposta

A direção na qual a função diminui mais rapidamente no ponto é dada pelo vetor unitário .

Exercícios relacionados

Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, explique por quê. Se falsa, explique por que ou forneça um contra-exemplo.
Usando a regra da cadeia, calcule .
©
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)