Seja . No ponto , na direção de qual vetor
(b) diminui mais rapidamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar, no ponto , a direção na qual a função diminui mais rapidamente. Isso está relacionado com o cálculo vetorial e, mais especificamente, com o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Para encontrar a direção de menor aumento, ou seja, onde a função diminui mais rápido, basta pegar o vetor oposto ao gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é formado pelas derivadas parciais da função em relação a e . Ou seja:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto substituindo e nas derivadas:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
A direção de maior aumento é o próprio gradiente . Para encontrar a direção de maior diminuição, simplesmente pegamos o vetor oposto:
çãçã
Passo 7
Normalizamos esse vetor para obter uma direção unitária, pois geralmente queremos a direção independente da magnitude. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua norma:
Então, a direção unitária é:
Resposta
A direção na qual a função diminui mais rapidamente no ponto é dada pelo vetor unitário .