Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto específico (1, 3, 9). A matéria envolvida aqui é cálculo, mais precisamente o estudo de superfícies e planos tangentes. Pra resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como elas nos ajudam a achar o plano que “encosta” na superfície no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como achar o plano tangente a uma superfície. Se a superfície é dada por uma equação implícita, tipo , o plano tangente no ponto pode ser encontrado usando as derivadas parciais de em relação a , e . Essas derivadas formam o vetor normal ao plano tangente.
Passo 3
Vamos identificar nossa função. No caso, a equação da superfície é:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 5
Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto dado :
Então, o vetor normal ao plano tangente é .
Passo 6
Agora, vamos usar a equação geral do plano tangente:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Passo 7
Substituindo os valores que temos na equação:
Vamos simplificar isso:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto é dado por: