Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto específico (1, 3, 9). A matéria envolvida aqui é cálculo, mais precisamente o estudo de superfícies e planos tangentes. Pra resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como elas nos ajudam a achar o plano que “encosta” na superfície no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como achar o plano tangente a uma superfície. Se a superfície é dada por uma equação implícita, tipo , o plano tangente no ponto pode ser encontrado usando as derivadas parciais de em relação a , e . Essas derivadas formam o vetor normal ao plano tangente.

Passo 3

Vamos identificar nossa função. No caso, a equação da superfície é:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto dado :
Então, o vetor normal ao plano tangente é .

Passo 6

Agora, vamos usar a equação geral do plano tangente:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.

Passo 7

Substituindo os valores que temos na equação:
Vamos simplificar isso:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:

Exercícios relacionados

Usando a regra da cadeia, calcule .
©
Seja . No ponto , na direção de qual vetor
(b) diminui mais rapidamente.
Calcule o fluxo de fluido que passa através de uma seção transversal circular do gasoduto localizada no plano .
Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
© A equação do plano tangente à superfície no ponto é