Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto. O custo marginal será a derivada dessa função. Assim, o custo marginal Cg representa o valor adicional na função custo C(x) para produzir mais uma unidade e depende do total de peças já produzidas. Sabendo que a função de custo de uma determinada empresa é C(x) = 0,3x³ - 2,5x² + 20x + 200. Assinale a alternativa que contenha respectivamente a função custo marginal e custo marginal para a produção de 10 unidades. CO D O custo marginal será dado por C’(x) = 0,3x³ - 2,5x² + 20x + 200 e o custo marginal para x= 10 é C(10) = 60. O custo marginal será dado por C’(x) = 0,9x² - 5x + 20 e o custo marginal para x = 10 e C(10) = 60. O custo marginal será dado por C’(x) = 0,9x² - 2,5x + 20x e o custo marginal para x = 10 e C (10) = 60 O O custo marginal será dado por C’(x) = 0,3x²-2,5x² + 20x200 e o custo marginal para x= 10 e C(10) = 450 0 O custo marginal será dado por C’(x)=0,9x²-2.5x +20 e o custo marginal para x = 10 e C 10) = 100​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que mostra o custo de produzir x unidades de um produto: $ C(x) = 0,3x^3 - 2,5x^2 + 20x + 200 $. O que precisamos fazer aqui é encontrar a função custo marginal, que basicamente diz quanto o custo aumenta se a gente produzir uma unidade a mais. Para isso, vamos precisar usar o cálculo, mais especificamente a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função custo $ C(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação do custo em relação à quantidade produzida, ou seja, o custo marginal $ C’(x) $. Usando as regras de derivação:
C(x)
Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ 0,3x^3 $ é $ 0,9x^2 $ (porque $ 3 \times 0,3 = 0,9 $ e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de $ -2,5x^2 $ é $ -5x $ (porque $ 2 \times -2,5 = -5 $).
  • A derivada de $ 20x $ é $ 20 $ (a derivada de $ ax $ é simplesmente $ a $).
  • A derivada de $ 200 $ é $ 0 $ (já que é uma constante).
Então, juntando tudo:
C'(x)

Passo 3

Agora que temos a função custo marginal, vamos calcular quanto é o custo marginal quando a gente produz 10 unidades, ou seja, vamos encontrar $ C’(10) $.
Substituindo $ x $ por 10 na função que encontramos:
C'(10)
x
C'(10) = 0,9(10)^2 - 5(10) + 20
C'(10) = 0,9(100) - 50 + 20

Resposta

A função custo marginal é $ C’(x) = 0,9x^2 - 5x + 20 $ e o custo marginal para a produção de 10 unidades é 60.

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