- Suponha que o erro máximo a ser cometido para estimar a média populacional seja ε. Desse modo, qualquer valor top enclose x no intervalo left square bracket mu minus epsilon comma mu plus epsilon right square bracket é uma boa estimativa. Para assimilar melhor, suponha que queiramos estimar a verdadeira média populacional mu equals 1.70 m das alturas de certo grupo de atletas e, para isso, queremos cometer um erro máximo de epsilon equals 4 c m. Portanto, qualquer valor de top enclose x pertencente ao intervalo left square bracket 1 comma 66 m semicolon 1 comma 74 m right square bracket servirá. Além disso, para acompanhar essa estimativa, suponha que queremos ter uma probabilidade de acerto de gamma equals 95 percent sign, uma margem de segurança. De acordo com os dados apresentados, e sabendo que sigma equals 0 comma 1 c m, qual o tamanho mínimo da amostra que terá que ser coletada para estimar a média populacional? Selecione uma alternativa: a) 97 elementos. b) 25 elementos. c) 87 elementos. d) 20 elementos. e) 52 elementos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como estimar a média das alturas de um grupo de atletas com um certo nível de precisão e confiança. O conteúdo envolvido aqui é Estatística, mais especificamente Estimativa de Média Populacional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o tamanho mínimo da amostra necessário para garantir que nossa estimativa esteja dentro do erro máximo desejado com uma determinada confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos estimar a média populacional
das alturas dos atletas. Queremos que qualquer estimativa esteja dentro de um erro máximo de
. Além disso, queremos ter uma probabilidade de acerto de 95% (ou seja, confiança de 95%) e sabemos que o desvio padrão da população é
.
Para calcular o tamanho da amostra, usamos a fórmula:
Aqui,
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
Passo 3
Vamos identificar cada parte da fórmula:
-
: Isso significa que queremos um nível de confiança de 95%. O valor crítico (porque ) para 95% de confiança é aproximadamente 1,96. -
: Esse é o desvio padrão da população. -
: Esse é o erro máximo que queremos cometer na estimativa.
Agora, substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Multiplicamos
. - Dividimos esse resultado pelo erro máximo:
. - Elevamos ao quadrado:
.
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
A resposta correta é b) 25 elementos.