Ao solucionar problemas utilizando a derivação implícita, é imprescindível estudar as funções ou equações no sentido de identificar as estratégias e regras que devem ser aplicadas. Usando a derivação implícita assinale a alternativa que dispõe da derivada de 2 x y plus y squared equals x plus y. Escolha uma: a. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x minus 2 y minus 1 over denominator x end fraction b. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x plus 2 y minus 1 over denominator 1 minus 2 y end fraction c. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 1 minus 2 y over denominator 2 x plus 2 y minus 1 end fraction d. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x over denominator x minus y end fraction e. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 2 x plus 2 y end fraction

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $:
x
A matéria envolvida aqui é Derivação Implícita, que usamos quando $ y $ está misturado com $ x $ de forma que não é fácil isolar $ y $. Para resolver isso, vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e então resolver para $ \frac{dy}{dx} $.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $:
x

Passo 3

Agora, aplique as regras de derivação:
  • Para $ 2xy $, usamos a regra do produto: 2xy
    - Para $ y^2 $, usamos a regra da cadeia:
    ddx(2xy) = 2 ( x dydx + y )
  • Derivando $ x $ em relação a $ x $ é 1 e $ y $ em relação a $ x $ é $ \frac{dy}{dx} $: y^2 ddx(y^2) = 2y dydx

Passo 4

Substituindo as derivações na equação:
2(x dydx + y) + 2y dydx = 1 + dydx

Passo 5

Agora, vamos distribuir e juntar os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
2x dydx + 2y + 2y dydx = 1 + dydx

Passo 6

Isolamos os termos com $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
(2x + 2y) dydx - dydx = 1 - 2y

Passo 7

Finalmente, resolvemos para $ \frac{dy}{dx} $:
dydx

Resposta

A derivada é:
dydx = 1 - 2y2x + 2y - 1
Portanto, a alternativa correta é a c.

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