Ao solucionar problemas utilizando a derivação implícita, é imprescindível estudar as funções ou equações no sentido de identificar as estratégias e regras que devem ser aplicadas. Usando a derivação implícita assinale a alternativa que dispõe da derivada de 2 x y plus y squared equals x plus y. Escolha uma: a. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x minus 2 y minus 1 over denominator x end fraction b. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x plus 2 y minus 1 over denominator 1 minus 2 y end fraction c. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 1 minus 2 y over denominator 2 x plus 2 y minus 1 end fraction d. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x over denominator x minus y end fraction e. fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 2 x plus 2 y end fraction
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $:
A matéria envolvida aqui é Derivação Implícita, que usamos quando $ y $ está misturado com $ x $ de forma que não é fácil isolar $ y $. Para resolver isso, vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação a $ x $ e então resolver para $ \frac{dy}{dx} $.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, aplique as regras de derivação:
- Para $ 2xy $, usamos a regra do produto:
- Para $ y^2 $, usamos a regra da cadeia:
- Derivando $ x $ em relação a $ x $ é 1 e $ y $ em relação a $ x $ é $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 4
Substituindo as derivações na equação:
Passo 5
Agora, vamos distribuir e juntar os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 6
Isolamos os termos com $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para $ \frac{dy}{dx} $:
Resposta
A derivada é:
Portanto, a alternativa correta é a c.