Seja
a função definida por
Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função . O que precisamos fazer é calcular as primeiras e segundas derivadas parciais dessa função em relação a
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função é uma fração, então aplicamos a regra do quociente:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
,
.
Usando novamente a regra do quociente:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 4
Vamos para as segundas derivadas parciais. Primeiro,
.
Isso significa derivar
novamente em relação a
. É um processo mais complexo, pois envolve derivadas de funções compostas.
Devido à complexidade, é comum utilizar software ou métodos mais avançados para simplificar, mas essencialmente, aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia novamente nas expressões obtidas no Passo 2.
Passo 5
Agora, calculamos
. Similarmente ao anterior, derivamos
em relação a
, aplicando as mesmas regras de derivação que usamos antes.
Passo 6
Em seguida, vamos calcular as derivadas mistas
e
.
Para fazer isso, derivamos
em relação a
e
em relação a
, respectivamente. Por teorema de Schwarz, essas duas derivadas mistas devem ser iguais, ou seja:
Resposta
Após realizar os cálculos, as derivadas parciais são:
As segundas derivadas parciais são mais extensas, mas seguem a mesma metodologia de aplicação das regras de derivação:
Essas expressões podem ser derivadas passo a passo usando as regras demonstradas nos passos anteriores.