Mostre que a função
a equação diferencial parcial
, chamada equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para achar
:
Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 5
Derivando
novamente em relação a
para achar
:
Usando a regra do quociente:
Passo 6
Agora, somamos as duas segundas derivadas que encontramos:
Resposta
Então, mostramos que
. Portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace.