Mostre que a função z=arctan (yx) satisfaz a equação diferencial parcial partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0, chamada equação de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e depois somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de z = arctan(yx) em relação a partial zpartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2 . Sabemos que:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( -yx^2 + y^2 ) novamente em relação a partial^2 zpartial x^2 = 0 cdot (x^2 + y^2) - (-y) cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 para achar :
Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de partial zpartial y = 11 + (yx)^2 cdot (1x) = xx^2 + y^2 em relação a :

Passo 5

Derivando partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) novamente em relação a partial^2 zpartial y^2 = 0 cdot (x^2 + y^2) - x cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2 para achar :
Usando a regra do quociente:

Passo 6

Agora, somamos as duas segundas derivadas que encontramos:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 + ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = 0

Resposta

Então, mostramos que . Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace.

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