Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação x^2 + x*y + x*sen(y) = y*sen(x). Calcule y'.

Passo 1

Vamos resolver o problema onde a função é definida pela equação implícita . Nosso objetivo é encontrar a derivada . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra básica de derivação para potências.
  2. Derivada de :
    Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
  3. Derivada de :
    Novamente, aplicamos a regra do produto e a derivada da função composta, lembrando que é função de .
  4. Derivada de :
    Aplicamos a regra do produto aqui também.

Passo 3

Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:

Passo 4

Vamos reunir todos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro lado:

Passo 5

Fatoramos nos termos à esquerda:

Passo 6

Isolamos dividindo ambos os lados pelo coeficiente de :

Resposta

A derivada é dada por:

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