Seja
uma função derivável definida implicitamente pela equação
. Calcule
.
Passo 1
Vamos resolver o problema onde a função
é definida pela equação implícita
. Nosso objetivo é encontrar a derivada
. Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
-
Derivada de
: Aqui, usamos a regra básica de derivação para potências. -
Derivada de
: Usamos a regra do produto, que diz que a derivada deé . -
Derivada de
: Novamente, aplicamos a regra do produto e a derivada da função composta, lembrando queé função de . -
Derivada de
: Aplicamos a regra do produto aqui também.
Passo 3
Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
Passo 4
Vamos reunir todos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Passo 5
Fatoramos
nos termos à esquerda:
Passo 6
Isolamos
dividindo ambos os lados pelo coeficiente de
:
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções:
.
James Stewart
edição: Exercícios 3.4:
Uma partícula move-se ao longo da curva
. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é zero.
James Stewart
edição: Exercícios 3.5: