Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos desenhar o esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos precisar analisar propriedades da função, como interceptos, simetrias e comportamento em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, os pontos onde o gráfico cruza os eixos
e
.
Passo 3
Intercepto com o eixo y: ocorre quando
.
Calculando:
Então, o intercepto com o eixo y é
.
Passo 4
Interceptos com o eixo x: são os valores de
para os quais
.
Temos:
Isso acontece quando:
Portanto, os interceptos com o eixo x são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função possui alguma simetria.
Calculamos
:
Como
, a função é par e possui simetria em relação ao eixo
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função para
tendendo a
e
.
Para
muito grande:
Como o expoente
é positivo e a função está multiplicada por -1, quando
tende a
ou
,
tende a
.
Passo 7
Para completar o esboço, vamos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento observando onde a função aumenta ou diminui. Embora o cálculo da derivada seja mais complexo, podemos observar que entre os interceptos, a função atinge um ponto máximo entre
e
, e diminui fora desses pontos.
Resposta
O esboço do gráfico da função
apresenta interceptos nos pontos
,
e
. A função é simétrica em relação ao eixo
e tende a
quando
se afasta de zero para ambos os lados. Entre
e
, a função possui um ponto de máximo, criando uma forma de “montanha” no gráfico.
Exercícios relacionados
James Stewart
edição: Exercícios 3.4:
Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para
a função
.
Seja
uma função derivável definida implicitamente pela equação
. Calcule
.
Uma partícula move-se ao longo da curva
. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é zero.