Entregar: Obtenha o esboço dos gráficos das seguintes funções: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos desenhar o esboço do gráfico da função . Para isso, vamos precisar analisar propriedades da função, como interceptos, simetrias e comportamento em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, os pontos onde o gráfico cruza os eixos e .

Passo 3

Intercepto com o eixo y: ocorre quando .
Calculando:
Então, o intercepto com o eixo y é .

Passo 4

Interceptos com o eixo x: são os valores de para os quais .
Temos:
Isso acontece quando:
Portanto, os interceptos com o eixo x são , e .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função possui alguma simetria.
Calculamos :
Como , a função é par e possui simetria em relação ao eixo .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função para tendendo a e .
Para muito grande:
Como o expoente é positivo e a função está multiplicada por -1, quando tende a ou , tende a .

Passo 7

Para completar o esboço, vamos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento observando onde a função aumenta ou diminui. Embora o cálculo da derivada seja mais complexo, podemos observar que entre os interceptos, a função atinge um ponto máximo entre e , e diminui fora desses pontos.

Resposta

O esboço do gráfico da função apresenta interceptos nos pontos , e . A função é simétrica em relação ao eixo e tende a quando se afasta de zero para ambos os lados. Entre e , a função possui um ponto de máximo, criando uma forma de “montanha” no gráfico.

Exercícios relacionados

James Stewart edição: Exercícios 3.4:
Usando a definição da derivada de uma função num ponto, encontre para a função .
Seja uma função derivável definida implicitamente pela equação . Calcule .
Uma partícula move-se ao longo da curva . Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é zero.