Seja a curva em descrita por: e . Mostre que a curva está contida no parabolóide e determine a reta tangente e o plano normal à curva no ponto correspondente a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva no espaço tridimensional definida por:
O que a gente precisa fazer é:
  1. Mostrar que essa curva está toda dentro do parabolóide .
  2. Encontrar a reta tangente à curva no ponto correspondente a .
  3. Determinar o plano normal à curva nesse mesmo ponto.
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, como substituição de variáveis, derivadas para encontrar vetores tangentes e equações de retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva está mesmo dentro do parabolóide .
Sabemos que:
Vamos substituir e na equação do parabolóide:
Agora, lembrando da identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão:
Viu só? Tudo cancela e sobra 1, que é exatamente o lado direito da equação do parabolóide. Isso significa que para qualquer valor de , a curva satisfaz a equação do parabolóide. Portanto, a curva está completamente contida no parabolóide .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto onde .
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas desse ponto. Substituindo nas equações da curva:
Então, o ponto é .
Para encontrar a reta tangente, precisamos do vetor velocidade da curva, que é a derivada das coordenadas em relação a .
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos :
Então, o vetor tangente é .
A equação da reta tangente pode ser escrita parametrizada por :

Passo 4

Agora, vamos determinar o plano normal à curva no mesmo ponto .
O plano normal terá como vetor normal o próprio vetor tangente da curva no ponto, que é .
A equação geral de um plano é:
onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar denominadores:
Portanto, a equação do plano normal é:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é dada por:
e o plano normal à curva nesse ponto tem a equação:

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
(f)
Sabendo que , calcule , caso exista.
Calcule os limites a seguir:
(1)
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.